指数が3個ある和の方程式

\begin{align*} 200 & =2^{l}+4^{m}+8^{n}\\ & =2^{l}+2^{2m}+2^{3n} \end{align*} となるので、組み合わせを\(\left\{ l,2m,3n\right\} =\left\{ a,b,c\right\} \)とおき\(a\leq b\leq c\)とおくと、
\[ 200=2^{a}+2^{b}+2^{c} \] となる。

\(a\ne b\)のとき、

これより、
\[ 2^{a}\left(1+2^{b-a}+2^{c-a}\right)=2^{3}\cdot25 \] \(2^{a}\)は偶数、\(1+2^{b-a}+2^{c-a}\)は奇数となるので、
\[ \begin{cases} 2^{a}=2^{3}\\ 1+2^{b-a}+2^{c-a}=25 \end{cases} \] となり、\(a=3\)となり、
\[ 2^{b-3}+2^{c-3}=24 \] となる。

\(a\ne b\land b\ne c\)のとき、

\[ 2^{b-3}\left(1+2^{c-b}\right)=2^{3}3 \] となり、\(2^{b-3}\)は偶数、\(1+2^{c-b}\)は奇数となるので、
\[ \begin{cases} 2^{b-3}=2^{3}\\ 1+2^{c-b}=3 \end{cases} \] より、\(b=6\)となり、
\[ 2^{c-6}=2 \] なので、\(c=7\)となる。
これより、組み合わせは\(\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ 3,6,7\right\} \)

\(a\ne b\land b=c\)のとき、

\[ 2^{b-3}+2^{b-3}=24 \] となるので、
\[ 2^{b-3}=12 \] となるが、これを満たす自然数\(b\)は存在しないのでこのときは解なし。

\(a=b\)のとき、

\[ 2^{a}+2^{a}+2^{c}=200 \] より、
\[ 2^{a+1}+2^{c}=200 \] となる。

\(a=b\land a+1<c\)のとき、

\[ 2^{a+1}+2^{c}=200 \] \[ 2^{a+1}\left(1+2^{c-a-1}\right)=2^{3}\cdot25 \] これより、\(2^{a+1}\)は偶数、\(1+2^{c-a-1}\)は奇数となるので、
\[ \begin{cases} 2^{a+1}=2^{3}\\ 1+2^{c-a-1}=25 \end{cases} \] より、\(a=2\)となり、
\[ 2^{c-3}=24 \] となるがこれを満たす自然巣\(c\)は存在しないので解なし。

\(a=b\land a+1=c\)のとき、

\begin{align*} 200 & =2^{a+1}+2^{a+1}\\ & =2\cdot2^{a+1}\\ & =4\cdot2^{a} \end{align*} より、
\[ 2^{a}=50 \] となるが、これを満たす自然巣\(a\)は存在しないので解なし。

\(a=b\land a+1>c\)のとき、

\(a\leq c\)なので\(a\leq c<a+1\)となり矛盾。
故に解なし。

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これより、組み合わせは\(\left\{ l,2m,3n\right\} =\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ 3,6,7\right\} \)のみとなる。
7は素数なので\(l=7\)となり、\(\left\{ 2m,3n\right\} =\left\{ 3,6\right\} \)となるが、2を因子に持つものより\(2m=6\)とならなければいけないので、\(m=3\)となり、残りは\(3n=3\)なので\(n=1\)となる。
故に解は\(\left(l,m,n\right)=\left(7,3,1\right)\)のみとなる。