距離空間での\(\epsilon\)-近傍・開集合・開集合族・閉集合の定義

距離空間\(\left(X,d\right)\)が与えられているとする。

(1)\(\epsilon\)-近傍

\(a\in X,\epsilon>0\)に対して、\(U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \)を\(\epsilon\)-近傍という。

(2)開集合

\(\exists O\subseteq X,\forall a\in O,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O\)が成り立つとき、\(O\)を開集合という。

(3)閉集合

部分集合\(A\subseteq X\)の補集合\(A^{c}\)が開集合となるとき\(A\)は閉集合であるという。

(4)開集合全体の集合

全ての開集合\(\lambda\in\Lambda,O_{\lambda}\)を要素に持つ族\(\mathcal{O}=\left\{ O_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\left(X,d\right)\)の開集合全体の集合\(\mathcal{O}\)という。

(5)開集合族

任意の開集合\(\lambda\in\Lambda,O_{\lambda}\)を要素に持つ族\(\mathcal{U}=\left\{ O_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\left(X,d\right)\)の開集合族\(\mathcal{U}\)という。