距離空間でε-近傍は開集合
距離空間でε-近傍は開集合
距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\epsilon\)-近傍は開集合となる。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\epsilon\)-近傍は開集合となる。
\(\epsilon\)-近傍は\(U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \)なので\(\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つ\(\epsilon_{0}\)があればいい。
これより、\(\epsilon>d\left(a,a_{0}\right)+\epsilon_{0}\)が成り立てばいいので、\(\epsilon_{0}<\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)\)より、\(\epsilon_{0}=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}\)とする。
そうすると、任意の\(x_{0}\in U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\)に対し、\(d\left(x_{0},a\right)\leq d\left(x_{0},a_{0}\right)+d\left(a_{0},a\right)\leq\epsilon_{0}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{d\left(a,a_{0}\right)}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)となるので\(x_{0}\)は\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)に含まれる。
これより、\(U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。
これより、\(\epsilon>d\left(a,a_{0}\right)+\epsilon_{0}\)が成り立てばいいので、\(\epsilon_{0}<\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)\)より、\(\epsilon_{0}=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}\)とする。
そうすると、任意の\(x_{0}\in U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\)に対し、\(d\left(x_{0},a\right)\leq d\left(x_{0},a_{0}\right)+d\left(a_{0},a\right)\leq\epsilon_{0}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{d\left(a,a_{0}\right)}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)となるので\(x_{0}\)は\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)に含まれる。
これより、\(U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 距離空間でε-近傍は開集合 |
URL | https://www.nomuramath.com/a6ifjo0c/ |
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離散距離は距離空間
\[
d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
距離空間での有界列の定義
\[
d\left(x_{n},a\right)\leq M
\]
全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]