距離空間でε-近傍は開集合
距離空間でε-近傍は開集合
距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\epsilon\)-近傍は開集合となる。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で\(\epsilon\)-近傍は開集合となる。
\(\epsilon\)-近傍は\(U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \)なので\(\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つ\(\epsilon_{0}\)があればいい。
これより、\(\epsilon>d\left(a,a_{0}\right)+\epsilon_{0}\)が成り立てばいいので、\(\epsilon_{0}<\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)\)より、\(\epsilon_{0}=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}\)とする。
そうすると、任意の\(x_{0}\in U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\)に対し、\(d\left(x_{0},a\right)\leq d\left(x_{0},a_{0}\right)+d\left(a_{0},a\right)\leq\epsilon_{0}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{d\left(a,a_{0}\right)}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)となるので\(x_{0}\)は\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)に含まれる。
これより、\(U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。
これより、\(\epsilon>d\left(a,a_{0}\right)+\epsilon_{0}\)が成り立てばいいので、\(\epsilon_{0}<\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)\)より、\(\epsilon_{0}=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}\)とする。
そうすると、任意の\(x_{0}\in U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\)に対し、\(d\left(x_{0},a\right)\leq d\left(x_{0},a_{0}\right)+d\left(a_{0},a\right)\leq\epsilon_{0}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon-d\left(a,a_{0}\right)}{2}+d\left(a_{0},a\right)=\frac{\epsilon}{2}+\frac{d\left(a,a_{0}\right)}{2}\leq\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\)となるので\(x_{0}\)は\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)に含まれる。
これより、\(U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)\)が成り立つので、題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | 距離空間でε-近傍は開集合 |
URL | https://www.nomuramath.com/a6ifjo0c/ |
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有界閉区間上でのハイネ・カントールの定理
有界閉区間上で関数が連続ならば一様連続である。
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]