円となるための条件

\begin{align*} 0 & =x^{2}+y^{2}+ax+by+c\\ & =\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{4}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+c\\ & =\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c\right) \end{align*} 従って、
\[ \left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c\right) \] となる。
これより、円となるためには中心はどこでもよく、半径の2乗は正でなければいけないので、
\[ \frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0 \] となる。