円となるための条件
円となるための条件
\[ x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \] が円となるための条件は
\[ \frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0 \] である。
\[ x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \] が円となるための条件は
\[ \frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0 \] である。
\begin{align*}
0 & =x^{2}+y^{2}+ax+by+c\\
& =\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{4}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+c\\
& =\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c\right)
\end{align*}
従って、
\[ \left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c\right) \] となる。
これより、円となるためには中心はどこでもよく、半径の2乗は正でなければいけないので、
\[ \frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0 \] となる。
\[ \left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c\right) \] となる。
これより、円となるためには中心はどこでもよく、半径の2乗は正でなければいけないので、
\[ \frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0 \] となる。
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| タイトル | 円となるための条件 |
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