距離関数は連続関数
距離関数は連続関数
距離空間\(\left(X,d\right)\)の距離関数\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)は直積距離空間\(\left(X\times X,d'\right)\)上の連続関数である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)の距離関数\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)は直積距離空間\(\left(X\times X,d'\right)\)上の連続関数である。
\(d'\left(\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)^{2}=d\left(x_{2},x_{1}\right)^{2}+d\left(y_{2},y_{1}\right)^{2}\)であるので、\(0<\delta\)として\(d'\left(\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{1},y_{1}\right)\right)<\delta\rightarrow d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\)となる。
このとき、
\begin{align*} d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right) & \leq d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\\ & =d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)\\ & <2\delta \end{align*} となり、同様に、\(d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)<2\delta\)となる。
これより、\(\left|d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)\right|<2\delta\)となるので、\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)とすれば、
\[ \forall\left(x_{1},y_{1}\right)\in X\times X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall\left(x_{2},y_{2}\right)\in X\times X;\left\{ d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\rightarrow\left|d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|<\epsilon\right\} \] となるので\(d\)は連続となる。
このとき、
\begin{align*} d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right) & \leq d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(x_{1},y_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\\ & =d\left(x_{2},x_{1}\right)+d\left(y_{1},y_{2}\right)\\ & <2\delta \end{align*} となり、同様に、\(d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)<2\delta\)となる。
これより、\(\left|d\left(x_{1},y_{1}\right)-d\left(x_{2},y_{2}\right)\right|<2\delta\)となるので、\(\delta=\frac{\epsilon}{2}\)とすれば、
\[ \forall\left(x_{1},y_{1}\right)\in X\times X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall\left(x_{2},y_{2}\right)\in X\times X;\left\{ d\left(x_{2},x_{1}\right)<\delta\land d\left(y_{2},y_{1}\right)<\delta\rightarrow\left|d\left(x_{2},y_{2}\right)-d\left(x_{1},y_{1}\right)\right|<\epsilon\right\} \] となるので\(d\)は連続となる。
ページ情報
タイトル | 距離関数は連続関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/sghz7ubc/ |
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距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
距離空間の部分集合が完備ならば閉集合
距離空間$\left(X,d\right)$の部分集合$A\subseteq X$が完備ならば、$A$は閉集合である。