部分距離空間・直積距離空間の定義

by nomura · 2023年6月4日

部分距離空間・直積距離空間の定義
部分距離空間・直積距離空間を次で定義する。

(1)部分距離空間

距離空間$\left(X,d_{X}\right)$があり、部分集合$A\subseteq X$があるとする。
$A$での距離関数を$d_{A}:A\times A\rightarrow\mathbb{R},\left(a_{1},a_{2}\right)\mapsto d_{A}\left(a_{1},a_{2}\right)=d_{X}\left(a_{1},a_{2}\right)$とすると、$\left(A,d_{A}\right)$は距離空間となり、この$\left(A,d_{A}\right)$を$\left(X,d_{X}\right)$の部分距離空間という。
このとき、距離空間$\left(X,d_{X}\right),\left(A,d_{A}\right)$から作られる位相空間をそれぞれ$\left(X,\mathcal{O}_{d_{X}}\right),\left(A,\mathcal{O}_{d_{A}}\right)$とすると$\mathcal{O}_{d_{A}}$は$\mathcal{O}_{d_{X}}$の相対位相$\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}_{d_{X}}\right\} $と一致する。

(2)直積距離空間

距離空間$\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)$があるとき、直積$X$を$X=\prod_{k=1}^{n}X_{k}$とする。
このとき、$p_{k},q_{k}\in X_{k}$として2点$P=\left(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\right),Q=\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}\right)$として、$d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}$と定義すると、$\left(X,d\right)$は距離空間となり、これを$\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)$の直積距離空間という。

(1)部分距離空間の例

距離空間$\left(\left\{ a,b,c\right\} ,d\right)$があるとき、距離関数$d$に関わらず部分集合$\left\{ a,b\right\} \subseteq\left\{ a,b,c\right\} $を全体集合とする$\left(\left\{ a,b\right\} ,d\right)$も距離空間となる。

(2)直積距離空間の例

$d_{1}\left(x,y\right)$=$\left|x-y\right|$として2つの距離空間を$\left(\mathbb{R},d_{1}\right),\left(\mathbb{R},d_{1}\right)$とする。
このとき、$p_{1},q_{1}\in\mathbb{R}$と$p_{2},q_{2}\in\mathbb{R}$として、$P=\left(p_{1},p_{2}\right),Q=\left(q_{1},q_{2}\right)$とおき、$d\left(P,Q\right)^{2}=d\left(\left(p_{1},p_{2}\right),\left(q_{1},q_{2}\right)\right)^{2}:=d_{1}\left(p_{1},q_{1}\right)^{2}+d_{1}\left(p_{2},q_{2}\right)^{2}=\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}$と定めると、直積距離空間$\left(\mathbb{R}^{2},d\right)$は距離空間となる。
これはユークリッド空間$\mathbb{R}^{2}$の通常距離である。