直積距離空間の定義
直積距離空間の定義
距離空間\(\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)\)があるとき、直積\(X\)を\(X=\prod_{k=1}^{n}X_{k}\)とする。
このとき、\(p_{k},q_{k}\in X_{k}\)として2点\(P=\left(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\right),Q=\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}\right)\)として、\(d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}\)と定義すると、\(\left(X,d\right)\)は距離空間となり、これを\(\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)\)の直積距離空間という。
\(d_{1}\left(x,y\right)\)=\(\left|x-y\right|\)として2つの距離空間を\(\left(\mathbb{R},d_{1}\right),\left(\mathbb{R},d_{1}\right)\)とする。
このとき、\(p_{1},q_{1}\in\mathbb{R}\)と\(p_{2},q_{2}\in\mathbb{R}\)として、\(P=\left(p_{1},p_{2}\right),Q=\left(q_{1},q_{2}\right)\)とおき、\(d\left(P,Q\right)^{2}=d\left(\left(p_{1},p_{2}\right),\left(q_{1},q_{2}\right)\right)^{2}:=d_{1}\left(p_{1},q_{1}\right)^{2}+d_{1}\left(p_{2},q_{2}\right)^{2}=\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}\)と定めると、直積距離空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)は距離空間となる。
これはユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)の通常距離である。
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タイトル | 直積距離空間の定義 |
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