連続と開集合の逆像が開集合は同値

by nomura · 2023年6月2日

連続と開集合の逆像が開集合は同値
距離空間$\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)$と写像$f:X\rightarrow Y$があるとき、写像$f$が連続であることと$Y$の任意の開集合$O_{Y}$に対し、逆像$f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$は$X$での開集合になることは同値である。

位相空間での連続と同じになるということです。

$f$は連続を開近傍を使った表現
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] で証明する。

$\Rightarrow$

$O_{Y}$の逆像内に任意の点$x$をとると$x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$となる。
このとき、$x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\cap f\left(X\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}$なので、$U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}$となる$\epsilon$近傍をとれる。
$f$は連続であるので、ある$\delta$が存在し、$f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)$を満たす。
従って、$f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}$となり$U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$となる。
これより、任意の点$x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$に対しある$\delta$が存在し、$U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$となるので$f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)$は開集合となる。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

任意の$x\in X$、任意の$\epsilon>0$に対し、$U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)$は開集合で$f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)$なので$f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)$$\Rightarrow$$x\in f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)$となる。
開集合の逆像は開集合という条件より、$f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)$は開集合となり、ある$\delta$が存在し、$U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)$となる。
従って、$f$は連続であるので$\Leftarrow$が成り立つ。