ゼータ関数の交代級数
ゼータ関数の交代級数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2}
\]
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{j}{j^{2k+1}}-\frac{1}{j^{2k+1}}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{j-1}{j^{2k+1}}\right)\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j^{2}}\right)^{k-1}\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\frac{1}{1-\frac{1}{j^{2}}}\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}-j}\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j(j+1)(j-1)}\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j(j+1)}\\ & =\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}\right)\\ & =\frac{1}{2} \end{align*}
ページ情報
タイトル | ゼータ関数の交代級数 |
URL | https://www.nomuramath.com/rjcjvzw7/ |
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- 偶数ゼータの通常型母関数\[ \sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right) \]
- ζ(4k)の総和\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi \]
- 偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和\[ \sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1 \]
- ζ(2)の値\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \]