ゼータ関数の交代級数
ゼータ関数の交代級数
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2} \]
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2} \]
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{j}{j^{2k+1}}-\frac{1}{j^{2k+1}}\right)\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{j-1}{j^{2k+1}}\right)\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{j^{2}}\right)^{k-1}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}}\frac{1}{1-\frac{1}{j^{2}}}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j^{3}-j}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{j-1}{j(j+1)(j-1)}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\frac{1}{j(j+1)}\\
& =\sum_{j=2}^{\infty}\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}\right)\\
& =\frac{1}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数の交代級数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rjcjvzw7/ |
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フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[
\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)
\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]