ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
(1)
\[ \log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k} \](2)
\[ \gamma=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k} \]-
(\(\Gamma\left(x\right)\)はガンマ関数、\(\gamma\)はオイラー・マスケローニ定数、\(\zeta\left(x\right)\)はリーマン・ゼータ関数)(1)
\begin{align*} \log\Gamma\left(x+1\right) & =\int_{0}^{x}\frac{d}{dx}\log\Gamma\left(x+1\right)dx\\ & =\int_{0}^{x}\psi\left(x+1\right)dx\\ & =\int_{0}^{x}\left\{ -\gamma+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\zeta(k+1)z^{k}\right\} dx\slug{jupvfrgr}\\ & =-\gamma x+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\zeta(k+1)}{k+1}z^{k+1}\\ & =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k} \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \log\Gamma\left(x+1\right) & =\log\left(x\Gamma\left(x\right)\right)\\ & =\log x+\log\Gamma\left(x\right)\\ & =\log x-\log\left(xe^{\gamma x}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)e^{-\frac{x}{k}}\right)\\ & =\log x-\left(\log x+\gamma x+\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1+\frac{x}{k}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x}{k}\right)\\ & =\log x-\left(\log x+\gamma x+\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j}\left(\frac{x}{k}\right)^{j}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x}{k}\right)\\ & =\log x-\left(\log x+\gamma x+\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=2}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j}\left(\frac{x}{k}\right)^{j}\right)\\ & =\log x-\left(\log x+\gamma x+\sum_{j=2}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j}x^{j}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{j}}\right)\\ & =\log x-\left(\log x+\gamma x+\sum_{j=2}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j}x^{j}\zeta\left(j\right)\right)\\ & =-\gamma x+\sum_{j=2}^{\infty}\frac{(-1)^{j}\zeta\left(j\right)}{j}x^{j} \end{align*}(2)
\begin{align*} \gamma & =\left[\gamma x\right]_{x=1}\\ & =\left[-\log\Gamma\left(1+x\right)+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}\right]_{x=1}\\ & =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k} \end{align*}ページ情報
タイトル | ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/mc0bcpgo/ |
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そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
ガンマ関数と階乗の関係
\[
\Gamma(n+1)=n!
\]