部分積分と繰り返し部分積分
部分積分と繰り返し部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \](2)繰り返し部分積分
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\int\left\{ \left(f^{(-1)}(x)g(x)\right)'-f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)\right\} dx\\ & =f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \end{align*}(2)
\[ \int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx=f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)-\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx \] より、\[ (-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx=(-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx+(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x) \] となるので、
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx-(-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(-(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \end{align*}
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タイトル | 部分積分と繰り返し部分積分 |
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ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
合成関数の微分
\[
\frac{df(g(x))}{dx}=f'(g(x))g'(x)
\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]