eのπ乗とπのe乗の大小比較
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[ e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e} \]
\begin{align*} \sgn\left(e^{\pi}-\pi^{e}\right) & =\sgn\left(\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e\pi}-\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{e\pi}\right)\\ & =\sgn\left(e^{\frac{1}{e}}-\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)\\ & =-1\cmt{f(x)=x^{\frac{1}{x}}\text{の増減表より}e<\pi\text{なので}\pi^{\frac{1}{\pi}}<e^{\frac{1}{e}}} \end{align*}
これより、
\[
\pi^{e}<e^{\pi}
\]
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タイトル | eのπ乗とπのe乗の大小比較 |
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$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x-y}\;,\;0<x<y$のとき、$\frac{y}{x}$を求めよ
無限多重根号の方程式
\[
\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}}\;,\;x=?
\]
分母に(1+x²)²を含む積分
\[
\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
\]
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\[
\log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5
\]