eのπ乗とπのe乗の大小比較
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[ e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e} \]
\begin{align*} \sgn\left(e^{\pi}-\pi^{e}\right) & =\sgn\left(\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e\pi}-\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{e\pi}\right)\\ & =\sgn\left(e^{\frac{1}{e}}-\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)\\ & =-1\cmt{f(x)=x^{\frac{1}{x}}\text{の増減表より}e<\pi\text{なので}\pi^{\frac{1}{\pi}}<e^{\frac{1}{e}}} \end{align*}
これより、
\[
\pi^{e}<e^{\pi}
\]
ページ情報
タイトル | eのπ乗とπのe乗の大小比較 |
URL | https://www.nomuramath.com/jnfug3hd/ |
SNSボタン |
- log₂3とlog₃5の大小比較\[ \log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5 \]
- 分母に1乗と2乗ルートの積分\[ \int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C \]
- 分母に(1+x²)²を含む積分\[ \int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\circ}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C \]
- 対数のルート積分\[ \int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C \]