eのπ乗とπのe乗の大小比較

\begin{align*} \sgn\left(e^{\pi}-\pi^{e}\right) & =\sgn\left(\left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e\pi}-\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{e\pi}\right)\\ & =\sgn\left(e^{\frac{1}{e}}-\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)\\ & =-1\cmt{f(x)=x^{\frac{1}{x}}\text{の増減表より}e<\pi\text{なので}\pi^{\frac{1}{\pi}}<e^{\frac{1}{e}}} \end{align*} これより、
\[ \pi^{e}<e^{\pi} \]