[定義]絶対収束と条件収束
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\]
n乗根の因数分解
\[z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right)\]
n乗同士の和と差の因数分解
\[a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=\left(a\pm b\right)\left(\sum_{k=0}^{2n}\left(\mp1\right)^{k}a^{2n-k}b^{k}\right)\]
ソフィー・ジェルマンの恒等式
\[a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\]
オイラーの4平方恒等式
\[\left(a_{0}^{\;2}+a_{1}^{\;2}+a_{2}^{\;2}+a_{3}^{\;2}\right)\left(b_{0}^{\;2}+b_{1}^{\;2}+b_{2}^{\;2}+b_{3}^{\;2}\right)=\left(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{2}-a_{1}b_{3}+a_{2}b_{0}+a_{3}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}\right)^{2}\]
ブラーマグプタ2平方恒等式
\[\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}\]
ビネ・コーシーとラグランジュの恒等式
\[\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)\left(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}\right)\]
交代式の因数分解
\[\text{交代式}=\text{差積}\times\text{対称式}\]
差積の定義と性質
\[\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right):=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)\]
複二次式の定義と因数分解
\[a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=\frac{1}{4a_{4}}\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}+\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right)\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}-\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right)\]
3次式の実数の範囲で因数分解
\[a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}\mp ab+b^{2}\right)\]
2次式の実数の範囲で因数分解
\[a^{2}\pm2ab+b^{2}=\left(a\pm b\right)^{2}\]
n番目の素数の式
\[P\left(n\right)=1+\sum_{k=1}^{2^{n}}\left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor }}\right\rfloor \]
ラクランジュの未定乗数法
\[F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\]
3囚人問題
囚人が助かる確率は上がるのか？
3人の神様、真神・偽神・乱神(真に最難関の論理パズル)
相手の言葉が分からない3人の神様、真神・偽神・乱神の正体をどうすれば特定できるのか。
正直天使と嘘つき悪魔と適当人間
正直者と嘘つきに加えて適当なことをいう人がいるとき、どうやって特定すればいいのか。
正直天使と嘘つき悪魔
正直者か嘘つきか分からないときに1回のYES/NO質問で真実を聞くにはどうすればいいか？
中央2項係数を含む通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\} \]
中央2項係数の通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}\]
2項係数の半分までの総和
\[\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}\]
正直村と嘘つき村
正直村の住人と嘘つき村の住人をYES/NO質問で見分ける方法
平均時速
行きと帰りの時速がそれぞれわかっているときの平均時速はどうなるでしょうか？
モンティ・ホール問題
開けるドアは変更したほうがいい？
(*)フルヴィッツの公式
\[\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\} \]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\]