リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数
\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\begin{align*} \zeta\left(s,1\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+k\right)^{s}}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\zeta\left(s\right) \end{align*}
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タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係 |
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リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
完備リーマンゼータ関数の関数等式
\[
\xi(s)=\xi(1-s)
\]