リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数
\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\begin{align*} \zeta\left(s,1\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+k\right)^{s}}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\zeta\left(s\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/jxqyaxms/ |
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- フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開\[ \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right) \]
- フルヴィッツのゼータ関数の定義\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}} \]
- 完備リーマンゼータ関数の関数等式\[ \xi(s)=\xi(1-s) \]
- リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz \]