リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\begin{align*}
\zeta\left(s,1\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+k\right)^{s}}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\
& =\zeta\left(s\right)
\end{align*}
ページ情報
タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係 |
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偶数ゼータの通常型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]