ソフィー・ジェルマンの恒等式
ソフィー・ジェルマンの恒等式
\[ a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right) \]
\[ a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right) \]
\begin{align*}
a^{4}+4b^{4} & =a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}-4a^{2}b^{2}\\
& =\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-\left(2ab\right)^{2}\\
& =\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ソフィー・ジェルマンの恒等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uzape5sg/ |
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複二次式の定義と因数分解
\[
a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=\frac{1}{4a_{4}}\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}+\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right)\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}-\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right)
\]
2次式の実数の範囲で因数分解
\[
a^{2}\pm2ab+b^{2}=\left(a\pm b\right)^{2}
\]
n乗根の因数分解
\[
z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right)
\]
ビネ・コーシーとラグランジュの恒等式
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)\left(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}\right)
\]