整式

ソフィー・ジェルマンの恒等式

by nomura · 2022年3月10日

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ソフィー・ジェルマンの恒等式

a^{4} + 4 b^{4} = (a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}) (a^{2} - 2 a b + 2 b^{2})

\begin{aligned} a^{4} + 4 b^{4} & = a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} - 4 a^{2} b^{2} \\ = {(a^{2} + 2 b^{2})}^{2} - {(2 a b)}^{2} \\ = (a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}) (a^{2} - 2 a b + 2 b^{2}) \end{aligned}

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タイトル	ソフィー・ジェルマンの恒等式
URL	https://www.nomuramath.com/uzape5sg/
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n乗根の因数分解

z^{n} - 1 = \prod_{k = 1}^{n} (z - e^{\frac{2 π}{n} k i})

2次式の実数の範囲で因数分解

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}

複二次式の定義と因数分解

a_{4} x^{4} + a_{2} x^{2} + a_{0} = \frac{1}{4 a_{4}} (2 a_{4} x^{2} + a_{2} + \sqrt{a_{2}^{2} - 4 a_{4} a_{0}}) (2 a_{4} x^{2} + a_{2} - \sqrt{a_{2}^{2} - 4 a_{4} a_{0}})

差積の定義と性質

Δ (x_{1}, \dots, x_{n}) := \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})