ブラーマグプタ2平方恒等式
ブラーマグプタ2平方恒等式
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2} \]
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2} \]
\begin{align*}
\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) & =a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\
& =\left(ac\pm bd\right)^{2}\mp2abcd+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\
& =\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2}
\end{align*}
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2} \] \(b\rightarrow-b\)と置き換えると、
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2} \] 1つにまとめて、
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2} \] となる。
(0)-2
\begin{align*} \left\{ \Re^{2}\left(\alpha\right)+\Im^{2}\left(\alpha\right)\right\} \left\{ \Re^{2}\left(\beta\right)+\Im^{2}\left(\beta\right)\right\} & =\left|\alpha\right|^{2}\left|\beta\right|^{2}\\ & =\left|\alpha\beta\right|^{2}\\ & =\left|\left\{ \Re\left(\alpha\right)+\Im\left(\alpha\right)i\right\} \left\{ \Re\left(\beta\right)+\Im\left(\beta\right)\right\} i\right|^{2}\\ & =\left|\Re\left(\alpha\right)\Re\left(\beta\right)-\Im\left(\alpha\right)\Im\left(\beta\right)+i\left\{ \Re\left(\alpha\right)\Im\left(\beta\right)+\Im\left(\alpha\right)\Re\left(\beta\right)\right\} \right|^{2}\\ & =\left\{ \Re\left(\alpha\right)\Re\left(\beta\right)-\Im\left(\alpha\right)\Im\left(\beta\right)\right\} ^{2}+\left\{ \Re\left(\alpha\right)\Im\left(\beta\right)+\Im\left(\alpha\right)\Re\left(\beta\right)\right\} ^{2} \end{align*} ここで\(\Re\left(\alpha\right)=a\;,\;\Im\left(\alpha\right)=b\;,\;\Re\left(\beta\right)=c\;,\;\Im\left(\beta\right)=d\)とおくと、\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2} \] \(b\rightarrow-b\)と置き換えると、
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2} \] 1つにまとめて、
\[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2} \] となる。
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タイトル | ブラーマグプタ2平方恒等式 |
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ビネ・コーシーとラグランジュの恒等式
\[
\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)\left(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}\right)
\]
4次方程式の標準形
\[
X^{4}+pX^{2}+qX+r=0
\]
因数分解による3次方程式の標準形の解
\[
x_{k}=\omega^{k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}-\omega^{3-k}\frac{p}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}}\cnd{k\in\left\{ 0,1,2\right\} }
\]
4次方程式標準形の解き方
\[
y=\frac{\mp_{1}\sqrt{2u-p}\pm_{2}\sqrt{-p-2u-\frac{4q}{2\sqrt{2u-p}}}}{2}
\]