交代式の因数分解

交代式の因数分解

\(n\)変数\(x_{1},\cdots,x_{n}\)の交代式\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)は差積\(\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)を因数に持ち、残りの因数は対称式となる。

すなわち、

\[ \text{交代式}=\text{差積}\times\text{対称式} \]

となる。

交代式なので、

\[ f\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)=-f\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right) \]

が成り立つ。

\(x_{i}=x_{j}\)を代入すると、

\[ f\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)=-f\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right) \]

となるので、

\[ f\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)=0 \]

因数定理より、\(\left(x_{i}-x_{j}\right)\)を因数に持つ。
他の変数についても同様のことをすると、差積\(\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)を因数にもつ。
残りの因数を\(g\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)とすると、

\begin{align*} \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)g\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right) & =f\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)\\ & =-f\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)\\ & =-\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)g\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)\\ & =\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)g\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right) \end{align*}

これより、

\[ \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)\left\{ g\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)-g\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)\right\} =0 \]

となり、
\[ \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)\ne0 \]

なので、

\[ g\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)-g\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right)=0 \]

となる。すなわち

\[ g\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)=g\left(x_{1},\cdots,x_{j},\cdots,x_{i},\cdots x_{n}\right) \]

であるので、\(g\left(x_{1},\cdots,x_{i},\cdots,x_{j},\cdots x_{n}\right)\)は\(x_{i}\)と\(x_{j}\)について対称になる。
他の任意の2変数についても同様に対称になるので\(g\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)は対称式となる。
故に題意は成り立つ。

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交代式の因数分解

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