絶対収束と条件収束

(1)絶対収束

級数\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)の各項の絶対値を取った級数が収束\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\)するとき、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)は絶対収束するという。
ある領域\(A\)の定積分\(\int_{A}f\left(x\right)dx\)が\(\int_{A}\left|f\left(x\right)\right|dx<\infty\)となるとき、\(\int_{A}f\left(x\right)dx\)は絶対収束するという。
このとき、\(f\left(x\right)\)を絶対可積分という。

(2)条件収束

級数\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)は収束するが絶対収束しないとき\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|=\infty\)、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)は条件収束するという。
ある領域\(A\)の定積分\(\text{が収束}\int_{A}f\left(x\right)dx<\infty\)するが、絶対収束しない\(\int_{A}\left|f\left(x\right)\right|dx=\infty\)とき、\(\int_{A}f\left(x\right)dx\)は条件収束するという。