フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt \]
\(\Gamma\left(s\right)\)はガンマ関数
\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数\(\Gamma\left(s\right)\)はガンマ関数
\begin{align*}
\zeta\left(s,\alpha\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(\alpha+k\right)^{s}}\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(\alpha+k\right)^{s}}\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\mathcal{L}_{t}\left[H\left(t\right)t^{s-1}\right]\left(\alpha+k\right)\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}H\left(t\right)t^{s-1}e^{-\left(\alpha+k\right)t}dt\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-\alpha t}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kt}dt\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-\alpha t}\frac{1}{1-e^{-t}}dt\\
& =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現 |
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リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]