3囚人問題

3囚人問題

3人の囚人A,B,Cがいます。
この3人のうちランダムに1人が助かり、2人は死刑になります。
囚人Aは看守に自分が死刑なのか聞いても教えてくれないので、「囚人Bか囚人C、どちらかが死刑になるのだから、死刑になる1人を教えてほしい」と聞いたところ、「囚人Bが死刑になる」と教えてくれました。
看守は囚人Aが助かる場合はランダムに囚人Bか囚人Cかを答えてます。
これで囚人Aか囚人Cどちらかが助かるのだから確率は元々の1/3から1/2になったでしょうか?

囚人Aが助かる事象をA、看守が「囚人Bが死刑になる」と答える事象をbで表す。
他の囚人の場合も同様に表す。
元々囚人A,B,Cが助かる確率は、

\[ P\left(A\right)=P\left(B\right)=P\left(C\right)=\frac{1}{3} \]

である。
「囚人Bが死刑になる」と知ったとき、囚人Aが助かる確率は、

\begin{align*} P\left(A;b\right) & =\frac{P\left(A\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)P\left(A\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)P\left(A\right)}{P\left(b;A\right)P\left(A\right)+P\left(b;B\right)P\left(B\right)+P\left(b;C\right)P\left(C\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)}{P\left(b;A\right)+P\left(b;B\right)+P\left(b;C\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)}{P\left(b;A\right)+1}\\ & =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*}

となるので確率は変わっていない。
「囚人Bが死刑になる」と知ったとき、囚人Cが助かる確率は余事象より、

\begin{align*} P\left(C;b\right) & =1-P\left(A;b\right)\\ & =1-\frac{1}{3}\\ & =\frac{2}{3} \end{align*}

余事象を使わずに計算をしても、

\begin{align*} P\left(C;b\right) & =\frac{P\left(C\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)P\left(C\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)P\left(C\right)}{P\left(b;A\right)P\left(A\right)+P\left(b;B\right)P\left(B\right)+P\left(b;C\right)P\left(C\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)}{P\left(b;A\right)+P\left(b;B\right)+P\left(b;C\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)}{P\left(b;A\right)+1}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\\ & =\frac{2}{3} \end{align*}

となり、囚人Cが助かる確率は\(\frac{1}{3}\)から\(\frac{2}{3}\)に上がっている。

ページ情報

タイトル

3囚人問題

URL

https://www.nomuramath.com/rz1b1ry5/

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