モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題

(1)

3つのドアがあります。1つのドアが当たりで2つのドアが外れです。
司会者(モンティ・ホール)はどのドアが当たりかを事前に知ってます。
あなたは1つドアを選ぶことができ、選んだ後に司会者があなたが選ばなかった2つのドアから外れのドアを1つを選び必ず1つ開けます。
ここであなたは最初に選んだドアから残ったもう1つのドアに変更することが出来ます。
変更したほうがいいでしょうか?

(2)

ドアが\(n\)個あり、司会者が\(m\)個のドアを開ける場合を考える\(\left(0\leq m\leq n-2\right)\)。
このとき最初に選んだドアが当たっている確率とドアを変更したときに当たっている確率を求めよ。
また変更したほうがいいでしょうか?

(1)

3つのドアをA,B,CとしてドアAが当たる事象をA、ドアAを開ける事象をaで表す。
あなたはドアAを選び、司会者はBを開けたとする。
このとき、ドアAが当たる確率は、

\begin{align*} P\left(A;b\right) & =\frac{P\left(A\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;A\right)P\left(A\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*}

ドアCが当たる確率は

\begin{align*} P\left(C;b\right) & =\frac{P\left(C\cap b\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{P\left(b;C\right)P\left(C\right)}{P\left(b\right)}\\ & =\frac{1\cdot\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{2}{3} \end{align*}

これより、ドアを変更するほうが確率が上がる。

(2)

n個のドアを\(A_{1},\cdots,A_{n}\)として、あなたがドア\(A_{n}\)を選択して司会者が\(m\)個のドア\(A_{1},\cdots,A_{m}\)を開けるとする。
このとき、ドア\(A_{n}\)が当たる確率は、

\begin{align*} P\left(A_{n};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{P\left(A_{n}\cap a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m};A_{n}\right)P\left(A_{n}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}\cdot\frac{1}{n}}{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}}\\ & =\frac{1}{n} \end{align*}

ドア\(A_{n-1}\)が当たる確率は、

\begin{align*} P\left(A_{n-1};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{P\left(A_{n-1}\cap a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m};A_{n-1}\right)P\left(A_{n-1}\right)}{P\left(a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{C\left(n-2,m\right)}\cdot\frac{1}{n}}{\frac{1}{C\left(n-1,m\right)}}\\ & =\frac{P\left(n-1,m\right)}{nP\left(n-2,m\right)}\\ & =\frac{n-1}{n\left(n-2-m+1\right)}\\ & =\frac{n-1}{n\left(n-m-1\right)} \end{align*}

これより、

\begin{align*} P\left(A_{n};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) & =\frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{\left(n-m-1\right)}-\frac{m}{\left(n-m-1\right)}\right)\\ & \leq\frac{n-1}{n\left(n-m-1\right)}\\ & =P\left(A_{n-1};a_{1}\cap\cdots\cap a_{m}\right) \end{align*}

等号は\(m=0\)なので、司会者が1つでも開けるなら変更するほうが得する。

ページ情報

タイトル

モンティ・ホール問題

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https://www.nomuramath.com/sxroohok/

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