リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分

リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分

(1)フルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分

\[ \zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz \]

\(C\)は正の実軸を反時計回りに回る経路

(2)リーマン・ゼータ関数のハンケル経路積分

\[ \zeta\left(s\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-z}}{1-e^{-z}}dz \]

\(C\)は正の実軸を反時計回りに回る経路

-

\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数

\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数

\(\Gamma\left(s\right)\)はガンマ関数

(1)

\(C_{1}\)は正の実軸の上側を無限から0までマイナス方向に進む経路

\(C_{2}\)は原点の回りを反時計回りで1周する経路

\(C_{3}\)は正の実軸の下側を0から無限までプラス方向に進む経路

とする。

\begin{align*} \zeta\left(s,\alpha\right) & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}\right)dt\\ & =\frac{\sin\left(\pi s\right)\Gamma\left(1-s\right)}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}\right)dt\\ & =\frac{\left(e^{i\pi s}-e^{-i\pi s}\right)\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}\right)dt\\ & =-\frac{\left(e^{i\pi\left(s-1\right)}-e^{-i\pi\left(s-1\right)}\right)\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}\right)dt\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\left(e^{i\pi}t\right)^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt+\int_{\infty}^{0}\frac{\left(e^{-i\pi}t\right)^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt\right)\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{\left(e^{2i\pi}e^{-i\pi}t\right)^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt+\int_{\infty}^{0}\frac{\left(e^{-i\pi}t\right)^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt\right)\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\left(\int_{C_{3}}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz+\int_{C_{1}}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\right)\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\left(\int_{C_{3}}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz+\int_{C_{1}}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz+\int_{C_{2}}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\right)\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz \end{align*}

(2)

\begin{align*} \zeta\left(s\right) & =\zeta\left(s,1\right)\\ & =-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-z}}{1-e^{-z}}dz \end{align*}

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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分

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