リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(B_{n}\left(\alpha\right)\)はベルヌーイ多項式
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)フルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[ \zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right) \](2)リーマン・ゼータ関数の非正整数値
\[ \zeta\left(-n\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(1\right) \]-
\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数\(B_{n}\left(\alpha\right)\)はベルヌーイ多項式
(1)
フルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分表示より、\begin{align*} \zeta\left(-n,\alpha\right) & =-\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{-\left(n+1\right)}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz\\ & =\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\int_{C}\left(-z\right)^{-\left(n+2\right)}\frac{z}{e^{z}-1}e^{\left(1-\alpha\right)z}dz\\ & =\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\int_{C}\left(-z\right)^{-\left(n+2\right)}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}z^{k}\right)\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(1-\alpha\right)^{j}}{j!}z^{j}\right)dz\\ & =\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\int_{C}\left(-z\right)^{-\left(n+2\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{B_{k}\left(1-\alpha\right)^{j}}{k!j!}z^{k+j}dz\\ & =\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\int_{C}\left(-z\right)^{-\left(n+2\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\frac{B_{k-j}\left(1-\alpha\right)^{j}}{\left(k-j\right)!j!}z^{k}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\int_{C}\frac{B_{k-j}\left(1-\alpha\right)^{j}}{\left(k-j\right)!j!}z^{-n+k-2}dz\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{\Gamma\left(1+n\right)}{2\pi i}\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}2\pi i\delta_{k,n+1}\frac{B_{k-j}\left(1-\alpha\right)^{j}}{\left(k-j\right)!j!}\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{\left(1+n\right)!}{n+1}\sum_{j=0}^{n+1}\frac{B_{n+1-j}\left(1-\alpha\right)^{j}}{\left(n+1-j\right)!j!}\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n+1}C\left(n+1,j\right)B_{n+1-j}\left(1-\alpha\right)^{j}\\ & =\left(-1\right)^{n}\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(1-\alpha\right)\\ & =-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} \zeta\left(-n\right) & =\zeta\left(-n,1\right)\\ & =-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(1\right) \end{align*}ページ情報
タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値 |
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(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
ζ(4k)の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi
\]
ζ(2)の値
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}
\]