ラクランジュの未定乗数法

ラクランジュの未定乗数法

\(g_{i}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\;,\;f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)を\(C^{1}\text{級とする。}\)
\(m\)個の制約条件\(g_{i}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=0\;,\;i=1,\cdots,m\)の元での関数\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)の極値は、

\[ F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) \]

とおくと、

\[ \frac{\partial F}{\partial x_{i}}=\frac{\partial F}{\partial\lambda_{i}}=0 \]

が成り立つ。逆は成り立たない。

関数\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{j-1}\right)\)は制約条件\(g_{j}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=0\)の元での極値ならば、\(\boldsymbol{r}_{s}=\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)のとき制約条件を満たすとすると制約条件の元では、

\[ \begin{cases} df=d\boldsymbol{r}_{s}\cdot\boldsymbol{\nabla}f+\sum_{k=1}^{j-1}\frac{\partial f}{\partial\lambda_{k}}d\lambda_{k}=0\\ dg_{j}=d\boldsymbol{r}_{s}\cdot\boldsymbol{\nabla}g_{j}=0 \end{cases} \]

となる。2番目の式より、

\[ dx_{n}=-\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{n}}\right)^{-1}\sum_{k=1}^{n-1}dx_{k}\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}} \]

となるので1番目の式に代入して、

\begin{align*} 0 & =\sum_{k=1}^{n-1}dx_{k}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{n}}\right)^{-1}\sum_{k=1}^{n-1}dx_{k}\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}+\sum_{k=1}^{j-1}\frac{\partial f}{\partial\lambda_{k}}d\lambda_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{n}}\right)^{-1}\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}\right)dx_{k}+\sum_{k=1}^{j-1}\frac{\partial f}{\partial\lambda_{k}}d\lambda_{k} \end{align*}

\(dx_{n}\)を消したので\(dx_{k},d\lambda_{k}\)は自由に動けるようになり、

\[ \lambda_{n}=\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{n}}\right)^{-1} \]

とおくと、

\[ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}-\lambda_{n}\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}=0 & k=1,\cdots,n-1\\ \frac{\partial f}{\partial\lambda_{k}}=0 & k=1,\cdots,j-1 \end{cases} \]

また、

\[ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}-\lambda_{n}\frac{\partial g_{j}}{\partial x_{n}}=0\\ g_{j}=0 \end{cases} \]

であるので、

\[ F=f-\lambda_{n}g_{j} \]

とおくと、

\[ \frac{\partial F}{\partial x_{k}}=\frac{\partial F}{\partial\lambda_{j}}=0\cnd{k=1,\cdots,n;j=1,\cdots,m} \]

となるので、\(F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{j}\right)\)の極値となる。
これより、\(m\)個の制約条件\(g_{i}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=0\;,\;i=1,\cdots,m\)の元での関数\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\)の極値ならば
\(m-1\)個の制約条件\(g_{i}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=0\;,\;i=2,\cdots,m\)の元での関数\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1}\right)\)の極値。
同様に、\(m-2\)個の制約条件\(g_{i}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)=0\;i=3,\cdots,m\)の元での関数\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1},\lambda_{2}\right)\)の極値。
繰り返すと、制約条件なしの\(f\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1},\cdots,\lambda_{m}\right)\)の極値となる。

\(\nLeftarrow\)

\(f\left(x,y\right)=x^{3}+y^{3}\)の制約条件\(g\left(x,y\right)=y=0\)のときを考える。
\(F\left(x,y,\lambda\right)=x^{3}+y^{3}-\lambda y\)なので

\[ \begin{cases} F_{x}=3x^{2}=0\\ F_{y}=3y^{2}-\lambda=0\\ F_{\lambda}=-y=0 \end{cases} \]

となり、\(\left(x,y,\lambda\right)=\left(0,0,0\right)\)となるが、\(\left(x,y\right)=\left(0.0\right)\)は極値ではない。

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ラクランジュの未定乗数法

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