フルヴィッツの公式

(1)

\(1<\Re\left(s\right)\;\land\;0<a\leq1\)のとき、

\[ \zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\} \]

(2)

\(\Re\left(s\right)<0\;\land\;0<a\leq1\)のとき、

\[ \zeta\left(s,a\right)=\frac{2\Gamma\left(1-s\right)}{\left(2\pi\right)^{1-s}}\left\{ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\left(2\pi ka\right)}{k^{1-s}}+\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\left(2\pi ka\right)}{k^{1-s}}\right\} \]

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\(\zeta\left(s,\alpha\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数

\(\Gamma\left(z\right)\)はガンマ関数

\(\Li_{s}\left(z\right)\)は多重対数関数