n乗根の因数分解
n乗根の因数分解
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \](2)
\[ z^{n}-\alpha=\prod_{k=1}^{n}\left(z-\alpha^{\frac{1}{n}}e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \](1)
\(z^{n}=1\)の解は\(z_{k}=e^{\frac{2\pi}{n}ki}\;,\;k=1,\cdots,n\)であるので因数定理より、\[ z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \] となる。
(2)
\begin{align*} z^{n}-\alpha & =\alpha\left(\left(\alpha^{-\frac{1}{n}}z\right)^{n}-1\right)\\ & =\alpha\prod_{k=1}^{n}\left(\alpha^{-\frac{1}{n}}z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(z-\alpha^{\frac{1}{n}}e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \end{align*}ページ情報
タイトル | n乗根の因数分解 |
URL | https://www.nomuramath.com/uay44uwk/ |
SNSボタン |
因数分解による3次方程式の標準形の解
\[
x_{k}=\omega^{k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}-\omega^{3-k}\frac{p}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}}\cnd{k\in\left\{ 0,1,2\right\} }
\]
3次式の実数の範囲で因数分解
\[
a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}\mp ab+b^{2}\right)
\]
相反方程式の定義と解法
\[
\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0
\]
4次方程式の標準形
\[
X^{4}+pX^{2}+qX+r=0
\]