n乗根の因数分解

n乗根の因数分解

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。

(1)

\[ z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \]

(2)

\[ z^{n}-\alpha=\prod_{k=1}^{n}\left(z-\alpha^{\frac{1}{n}}e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \]

(1)

\(z^{n}=1\)の解は\(z_{k}=e^{\frac{2\pi}{n}ki}\;,\;k=1,\cdots,n\)であるので因数定理より、

\[ z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \]

となる。

(2)

\begin{align*} z^{n}-\alpha & =\alpha\left(\left(\alpha^{-\frac{1}{n}}z\right)^{n}-1\right)\\ & =\alpha\prod_{k=1}^{n}\left(\alpha^{-\frac{1}{n}}z-e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(z-\alpha^{\frac{1}{n}}e^{\frac{2\pi}{n}ki}\right) \end{align*}

ページ情報

タイトル

n乗根の因数分解

URL

https://www.nomuramath.com/uay44uwk/

SNSボタン