ベータ関数の微分
ベータ関数の微分
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}-\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma^{2}(x+y)}\Gamma(x+y)\psi(x+y)\\
& =B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ia3q02u5/ |
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ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]