ベータ関数の微分

ベータ関数の微分

\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]

\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}B(x,y) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\ & =\frac{\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}-\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma^{2}(x+y)}\Gamma(x+y)\psi(x+y)\\ & =B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \end{align*}

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ベータ関数の微分

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