チェビシェフ多項式の別表記
\[T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right)\]
中央2項係数の総和
\[\sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}\]
冪乗の性質
\[\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}\]
対数と偏角の性質
\[\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1\]
複素指数関数の極形式
\[\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\]
対数と偏角の基本
\[\log z=\Log z+\log1\]
eの冪乗の基本
\[e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}\]
複素数の冪関数の定義
\[\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}\]
2重和の変換
\[\sum_{m=a}^{\infty}\sum_{n=b}^{\infty}f(m,n)=\sum_{t=a+b}^{\infty}\sum_{s=a}^{t-b}f(s,t-s)\]
(*)チェビシェフ多項式の超幾何表示
\[T_{n}(x)=F\left(-n,n;\frac{1}{2};\frac{1-x}{2}\right)\]
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list1.append('c')
(*)チェビシェフ多項式のロドリゲス公式
\[T_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}\sqrt{\pi}\sqrt{1-x^{2}}}{2^{n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(1-x^{2}\right)^{n-\frac{1}{2}}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}V_{m}(x)V_{n}(x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\pi\delta_{mn}\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)\]
第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)\]
チェビシェフ多項式の直交性
\[\int_{-1}^{1}T_{m}(x)T_{n}(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\pi}{2}\left(\delta_{mn}+\delta_{0m}\delta_{0n}\right)\]
チェビシェフの微分方程式
\[\left(1-x^{2}\right)T_{n}''(x)-xT_{n}'(x)+n^{2}T_{n}(x)=0\]