冪乗の対数
\[\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)\]
2乗のルート
\[\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)}\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)\]
ガンマ関数の漸化式を更新しました
符号関数の偏角・対数
\[\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha\]
絶対値の冪乗
\[\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}\]
偏角・対数と絶対値
\[\Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta\]
符号関数と絶対値
\[\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\sgn\beta\cnd{\alpha\ne0}\]
極限が符号関数になる関数
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)\]
符号関数の微分と積分
\[\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)\]
符号関数の符号関数
\[\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}\]
冪乗の符号関数
\[\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)\]
積の符号関数
\[\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)\]
符号関数の定義
\[\sgn\left(z\right)=\begin{cases}\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\0 & z=0\end{cases}\]
剰余の剰余
\[\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)\]
整数を含む床関数と天井関数
\[\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil =n\]
天井関数と床関数の和と差
\[\left\lceil z\right\rceil -\left\lfloor z\right\rfloor =\sgn\mod\left(\Re z,1\right)+i\sgn\mod\left(\Im z,1\right)\]
剰余演算の実部と虚部
\[\mod\left(\alpha,\beta\right)=\Re\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)-\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+i\left\{ \Re\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)\right\} \]
実数の複素数と複素共役の剰余演算
\[\mod\left(1,\overline{\alpha}\right)=\overline{\mod\left(1,\alpha\right)}+i\overline{\alpha}\left|\sgn\mod\left(\Im\alpha,\left|\alpha\right|^{2}\right)\right|\]
複素数と複素共役の実数での剰余演算
\[\mod\left(\alpha,1\right)=\mod\left(\Re\alpha,1\right)+i\mod\left(\Im\alpha,1\right)\]
床関数と天井関数の性質
\[\left\lceil z\right\rceil =-\left\lfloor -z\right\rfloor \]
床関数と天井関数の別表記
\[\left\lfloor z\right\rfloor =z-\mod\left(z,1\right)\]
床関数と天井関数の定義
\[\left\lfloor x\right\rfloor =\max\left\{ n\in\mathbb{Z};n\leq x\right\} \]
[移動]複素共役の偏角と対数
\[\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}\]
偏角と剰余の関係
\[\Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right)\]
剰余演算の定数倍
\[\frac{1}{\delta}\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)=\mod\left(\frac{\alpha}{\delta},\frac{\beta}{\delta},\frac{\gamma}{\delta}\right)\]