偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \](2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \](3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \](1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rz7w7dmg/ |
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冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
対数と偏角の基本
\[
\log z=\Log z+\log1
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]