偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \]
(2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \]
(3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \]
(1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}
(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/rz7w7dmg/ |
SNSボタン |
eの冪乗の対数
\[
\Log e^{z}=\Re z+i\mod\left(\Im z,-2\pi,\pi\right)
\]
複素指数関数の極形式
\[
\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]