偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \]
(2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \]
(3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \]
(1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}
(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
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複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]