偏角・対数と符号関数の関係

偏角・対数と符号関数の関係

\(z\ne0\)とする。

(1)

\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \]

(2)

\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \]

(3)

\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \]

(1)

\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}

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偏角・対数と符号関数の関係

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