符号関数の偏角・対数
符号関数の偏角・対数
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\sgn\alpha=\Arg\alpha \]
(2)
\[ \Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha \]
(1)
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =-i\Log\sgn\sgn\alpha\\ & =-i\Log\sgn\alpha\\ & =\Arg\alpha \end{align*}
(1)-2
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =\Arg\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Arg\alpha \end{align*}
(2)
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\ln\left|\sgn\alpha\right|+i\Arg\sgn\alpha\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}
(2)-2
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\Log\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Log\alpha-\ln\left|\alpha\right|\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}
ページ情報
タイトル | 符号関数の偏角・対数 |
URL | https://www.nomuramath.com/pjik7qf0/ |
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偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]
2乗のルート
\[
\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)}
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]