符号関数の偏角・対数
符号関数の偏角・対数
\(\alpha\ne0\)とする。
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\sgn\alpha=\Arg\alpha \](2)
\[ \Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha \](1)
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =-i\Log\sgn\sgn\alpha\\ & =-i\Log\sgn\alpha\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg\sgn\alpha & =\Arg\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Arg\alpha \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\ln\left|\sgn\alpha\right|+i\Arg\sgn\alpha\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \Log\sgn\alpha & =\Log\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\\ & =\Log\alpha-\ln\left|\alpha\right|\\ & =i\Arg\alpha \end{align*}ページ情報
タイトル | 符号関数の偏角・対数 |
URL | https://www.nomuramath.com/pjik7qf0/ |
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偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
逆数の偏角と対数
\[
\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}
\]
冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]