積の符号関数
積の符号関数
(1)
\[ \sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right) \](2)
\[ \sgn\left(-\alpha\right)=-\sgn\left(\alpha\right) \](3)
\[ \sgn\left(\frac{1}{\alpha}\right)=\frac{1}{\sgn\alpha} \](4)
\[ \sgn\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\sgn\alpha}{\sgn\beta} \](1)
\(\alpha\beta=0\)のとき、明らかに成立。\(\alpha\beta\ne0\)のとき、
\begin{align*} \sgn\left(\alpha\beta\right) & =\frac{\alpha\beta}{\left|\alpha\beta\right|}\\ & =\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\frac{\beta}{\left|\beta\right|}\\ & =\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right) \end{align*} これより与式は成り立つ。
(2)
\begin{align*} \sgn\left(-\alpha\right) & =\sgn\left(-1\right)\sgn\left(\alpha\right)\\ & =-\sgn\left(\alpha\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \sgn\left(\frac{1}{\alpha}\right) & =\frac{\left|\alpha\right|}{\alpha}\\ & =\frac{1}{\sgn\alpha} \end{align*}(4)
\begin{align*} \sgn\frac{\alpha}{\beta} & =\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\frac{1}{\beta}\right)\\ & =\frac{\sgn\alpha}{\sgn\beta} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 積の符号関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/osjvm720/ |
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符号関数と絶対値
\[
\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\sgn\beta\cnd{\alpha\ne0}
\]
極限が符号関数になる関数
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)
\]
符号関数の符号関数
\[
\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
符号関数の微分と積分
\[
\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)
\]