偏角・対数と絶対値
偏角・対数と絶対値
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\Arg\beta \]
(2)
\[ \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \]
(1)
\begin{align*} \Arg\left(\left|\alpha\right|\beta\right) & =-i\Log\left(\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)\right)\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(\beta\right)\right)\\ & =\Arg\beta \end{align*}
(2)
\begin{align*} \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right) & =\ln\left|\left|\alpha\right|\beta\right|+\Log\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\right|+\ln\left|\beta\right|+\Log\sgn\left(\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \end{align*}
ページ情報
タイトル | 偏角・対数と絶対値 |
URL | https://www.nomuramath.com/wrmjwxo9/ |
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eの冪乗の基本
\[
e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]