極限が符号関数になる関数
極限が符号関数になる関数
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
(1)
\[ \frac{2}{\pi}\lim_{k\rightarrow\infty}\tan^{\bullet}\left(kx\right)=\sgn\left(x\right) \](2)
\[ \lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right) \](1)
\begin{align*} \frac{2}{\pi}\lim_{k\rightarrow\infty}\tan^{\bullet}\left(kx\right) & =\frac{2}{\pi}\cdot\begin{cases} \frac{\pi}{2} & 0<x\\ 0 & x=0\\ -\frac{\pi}{2} & x<0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} 1 & 0<x\\ 0 & x=0\\ -1 & x<0 \end{cases}\\ & =\sgn\left(x\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{e^{kx}-e^{-kx}}{e^{kx}+e^{-kx}}\\ & =\begin{cases} 1 & 0<x\\ 0 & x=0\\ -1 & x<0 \end{cases}\\ & =\sgn\left(x\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 極限が符号関数になる関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d28kuqsq/ |
| SNSボタン |
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
符号関数の定義
\[
\sgn\left(z\right)=\begin{cases}
\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\
0 & z=0
\end{cases}
\]
積の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)
\]
符号関数の微分と積分
\[
\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)
\]