冪乗の符号関数

冪乗の符号関数

\(b\in\mathbb{R}\)として、\(\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\)とする。

\[ \sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right) \]

(0)

\(\alpha\ne0\)のとき

\begin{align*} \sgn\left(\alpha^{b}\right) & =\frac{\alpha^{b}}{\left|\alpha^{b}\right|}\\ & =\frac{\alpha^{b}}{\left|\alpha\right|^{b}}\\ & =\left(\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\right)^{b}\\ & =\sgn^{b}\left(\alpha\right) \end{align*}

\(\alpha=0\;\land\;b\ne0\)のとき

\begin{align*} \sgn\left(\alpha^{b}\right) & =\sgn\left(0\right)\\ & =0\\ & =\sgn^{b}\left(\alpha\right) \end{align*}

-

これより、\(\left(\alpha\ne0\right)\;\lor\;\left(\alpha=0\;\land\;b\ne0\right)\Leftrightarrow T\;\land\;\left(\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\right)\Leftrightarrow\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\)について成り立つので与式は成り立つ。

ページ情報

タイトル

冪乗の符号関数

URL

https://www.nomuramath.com/shwzhgjj/

SNSボタン