負数の剰余演算
負数の剰余演算同士
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ \mod\left(-x,a,b\right)=-\mod\left(x+2b,a,b\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x+2b,a,b\right)-b\right\} \right|+2b \](2)
\[ \mod\left(-x,a,n\frac{a}{2}\right)=-\mod\left(x,a,\frac{an}{2}\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x,a,\frac{an}{2}\right)-\frac{an}{2}\right\} \right|+an \](3)
\[ \mod\left(-x,-a,\frac{a}{2}\right)=-\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)+\delta_{\frac{a}{2},\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)} \](1)
\begin{align*} \mod\left(-x,a,b\right) & =\mod\left(-x-b,a\right)+b\\ & =-\mod\left(x+b,a\right)+a\left|\sgn\mod\left(x+b,a\right)\right|+b\\ & =-\mod\left(x+2b,a,b\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x+2b,a,b\right)-b\right\} \right|+2b \end{align*}(2)
\begin{align*} \mod\left(-x,a,n\frac{a}{2}\right) & =-\mod\left(x+an,a,\frac{an}{2}\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x+an,a,\frac{an}{2}\right)-\frac{an}{2}\right\} \right|+an\\ & =-\mod\left(x,a,\frac{an}{2}\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x,a,\frac{an}{2}\right)-\frac{an}{2}\right\} \right|+an \end{align*}(3)
\begin{align*} \mod\left(-x,-a,\frac{a}{2}\right) & =-\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)-a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)-\frac{a}{2}\right\} \right|+a\\ & =-\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)-a\left(1-\delta_{\frac{a}{2},\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)}\right)+a\\ & =-\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)+\delta_{\frac{a}{2},\mod\left(x,-a,\frac{a}{2}\right)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 負数の剰余演算 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ixftpg4y/ |
| SNSボタン |
剰余の剰余
\[
\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)
\]
偏角と剰余の関係
\[
\Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right)
\]
剰余演算の実部と虚部
\[
\mod\left(\alpha,\beta\right)=\Re\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)-\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+i\left\{ \Re\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)\right\}
\]
剰余演算同士の和・差
\[
\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)=\mod\left(x+y,a,b\right)+a\mzp_{0,1}\left(b\sgn\left(a\right),b\sgn\left(a\right)+\left|a\right|;\sgn\left(a\right)\left(\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)\right)\right)
\]