符号関数の微分と積分
符号関数の微分と積分
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
(1)
\[ \frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right) \](2)
\[ \int\sgn\left(x\right)dx=\left|x\right|+C \]-
\(\delta\left(x\right)\)はディラックのデルタ関数。(1)
\begin{align*} \frac{d\sgn\left(x\right)}{dx} & =\frac{d}{dx}\left(2H_{\frac{1}{2}}\left(x)-1\right)\right)\\ & =2\delta\left(x\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \int\sgn\left(x\right)dx & =\int_{0}^{x}\left(2H_{\frac{1}{2}}\left(x)-1\right)\right)dx+C\\ & =\left[2\max\left(0,x\right)-x\right]_{0}^{x}+C\\ & =2\max\left(0,x\right)-x+C\\ & =\max\left(-x,x\right)+C\\ & =\left|x\right|+C \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \int\sgn\left(x\right)dx & =\int_{0}^{x}\sgn\left(x\right)dx+C\\ & =C+\begin{cases} x & 0\leq x\\ -x & x<0 \end{cases}\\ & =\left|x\right|+C \end{align*}ページ情報
タイトル | 符号関数の微分と積分 |
URL | https://www.nomuramath.com/j3yle1s9/ |
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符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
冪乗の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
符号関数の符号関数
\[
\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
積の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)
\]