偏角と剰余の関係
偏角と剰余の関係
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right) \] となる。
偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,\pi\right) \] となる。
(1)
偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right) \] となる。
(2)
\(x\in\mathbb{R}\)とする。偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,\pi\right) \] となる。
(1)
偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき\begin{align*} \Arg\alpha & =\Arg\left(\left|\alpha\right|e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\Arg\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \end{align*} その他も同様。
(2)
\begin{align*} \Arg\left(e^{ix}\right) & =\mod\left(\Arg\left(e^{ix}\right),2\pi,a\right)\\ & =\mod\left(x,2\pi,a\right) \end{align*} その他も同様。ページ情報
| タイトル | 偏角と剰余の関係 |
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剰余演算同士の和・差
\[
\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)=\mod\left(x+y,a,b\right)+a\mzp_{0,1}\left(b\sgn\left(a\right),b\sgn\left(a\right)+\left|a\right|;\sgn\left(a\right)\left(\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)\right)\right)
\]
実数の複素数と複素共役の剰余演算
\[
\mod\left(1,\overline{\alpha}\right)=\overline{\mod\left(1,\alpha\right)}+i\overline{\alpha}\left|\sgn\mod\left(\Im\alpha,\left|\alpha\right|^{2}\right)\right|
\]
剰余演算の実部と虚部
\[
\mod\left(\alpha,\beta\right)=\Re\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)-\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+i\left\{ \Re\left(\beta\right)\mod\left(\Im\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)+\Im\left(\beta\right)\mod\left(\Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right),1\right)\right\}
\]
複素数と複素共役の実数での剰余演算
\[
\mod\left(\alpha,1\right)=\mod\left(\Re\alpha,1\right)+i\mod\left(\Im\alpha,1\right)
\]