偏角と剰余の関係

偏角と剰余の関係

(1)

偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき

\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \]

偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき

\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,a\right) \]

となる。

偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき

\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right) \]

となる。

(2)

\(x\in\mathbb{R}\)とする。

偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき

\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,2\pi,a\right) \]

偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき

\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,a\right) \]

となる。

偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき

\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,\pi\right) \]

となる。

(1)

偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき

\begin{align*} \Arg\alpha & =\Arg\left(\left|\alpha\right|e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\Arg\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \end{align*}

その他も同様。

(2)

\begin{align*} \Arg\left(e^{ix}\right) & =\mod\left(\Arg\left(e^{ix}\right),2\pi,a\right)\\ & =\mod\left(x,2\pi,a\right) \end{align*}

その他も同様。

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偏角と剰余の関係

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