符号関数の符号関数

符号関数の符号関数

\(b\in\mathbb{R}\)とする。

(1)

\[ \sgn\left(\sgn\left(\alpha\right)\right)=\sgn\left(\alpha\right) \]

(2)

\[ \sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right) \]

(1)

\begin{align*} \sgn\left(\sgn\left(\alpha\right)\right) & =\begin{cases} \frac{\sgn\left(\alpha\right)}{\left|\sgn\left(\alpha\right)\right|} & \alpha\ne0\\ \sgn\left(0\right) & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sgn\left(\alpha\right) & \alpha\ne0\\ 0 & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\sgn\left(\alpha\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right) & =\begin{cases} \frac{\sgn^{b}\left(\alpha\right)}{\left|\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right|} & \alpha\ne0\\ \sgn\left(0\right) & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sgn^{b}\left(\alpha\right) & \alpha\ne0\\ 0 & \alpha=0 \end{cases}\\ & =\sgn^{b}\left(\alpha\right) \end{align*}

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符号関数の符号関数

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https://www.nomuramath.com/sn93yb7r/

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