無限正項級数は順序変更出来る
無限正項級数は順序変更できる。
条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0\]
3角不等式
\[\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}\]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)\]
3引数論理演算を別表記
\[P\lor\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow P\leftarrow\left(Q\downarrow R\right)\]
ネイピア数と極限
\[\lim_{h\rightarrow0}\left(1-h\right)^{\frac{1}{h}}=\frac{1}{e}\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q\]
LK推論規則での包含関係
\[\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)\]
論理演算子の移項
\[\left(P\land R\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\]
演算子の作用と包含関係
\[P\lor Q\Leftarrow P\]
否定同値の否定同値は同値の同値
\[P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R\]
分配法則一覧
\[P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)\]
結合法則一覧
\[P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R\]
論理演算の基本
\[P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P\]
論理演算同士の関係
\begin{align*}P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)\end{align*}
逆・裏・対偶の定義と対偶の法則
\[\left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right)\]
論理演算の定義
\[P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q\]
異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式
\[\sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)\]
分割数の定義と母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}}\]
sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?\]
2項係数が0になるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0\]