2乗和と3乗和から1乗和を求めよ
2乗和と3乗和から1乗和を求めよ
\(x,y\in\mathbb{R}\)とする。
\[ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=7\\ x^{3}+y^{3}=10\\ x+y=? \end{cases} \]
\(x+y\)を求めよ。
1つ目の式より、
\begin{align*} 10 & =x^{3}+y^{3}\\ & =\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right) \end{align*}
これより、
\[
xy=\frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)}
\]
2つ目の式より、
\begin{align*} 7 & =\left(x^{2}+y^{2}\right)\\ & =\left(x+y\right)^{2}-2xy \end{align*}
これより、
\[ xy=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \]
これらより、\(xy\)を消去すると、
\[ \frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \]
分母を払うと、
\[ 2\left(x+y\right)^{3}-20=3\left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right) \]
整理して、
\[ \left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right)+20=0 \]
\(x+y=1\)のとき、この方程式を満たすので、
\[ \left(x+y-1\right)\left(\left(x+y\right)^{2}+\left(x+y\right)-20\right)=0 \]
これより、
\begin{align*} \left(x+y-1\right)\left(x+y-4\right)\left(x+y+5\right) & =0\\ x+y & =-5,1,4, \end{align*}
故に\(x+y=-5,1,4\)となる。
ページ情報
タイトル | 2乗和と3乗和から1乗和を求めよ |
URL | https://www.nomuramath.com/g651g9sp/ |
SNSボタン |