2乗和と3乗和から1乗和を求めよ

1つ目の式より、

\begin{align*} 10 & =x^{3}+y^{3}\\ & =\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right) \end{align*}

これより、
\[ xy=\frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)} \]

2つ目の式より、

\begin{align*} 7 & =\left(x^{2}+y^{2}\right)\\ & =\left(x+y\right)^{2}-2xy \end{align*}

これより、

\[ xy=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \]

これらより、\(xy\)を消去すると、

\[ \frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \]

分母を払うと、

\[ 2\left(x+y\right)^{3}-20=3\left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right) \]

整理して、

\[ \left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right)+20=0 \]

\(x+y=1\)のとき、この方程式を満たすので、

\[ \left(x+y-1\right)\left(\left(x+y\right)^{2}+\left(x+y\right)-20\right)=0 \]

これより、

\begin{align*} \left(x+y-1\right)\left(x+y-4\right)\left(x+y+5\right) & =0\\ x+y & =-5,1,4, \end{align*}

故に\(x+y=-5,1,4\)となる。