絶対収束するならば順序変更可能
絶対収束するならば順序変更可能
自然数から自然数への全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とする。
\(\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を複素数列とすると、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)が絶対収束するならば順序変更が可能である。
すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
自然数から自然数への全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とする。
\(\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を複素数列とすると、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)が絶対収束するならば順序変更が可能である。
すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
実数列の場合の証明
\(\left(a_{n}\right)\)を実数列として、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\)が収束するとする。
\[ a_{n}^{+}=\begin{cases} a_{n} & a_{n}\geq0\\ 0 & a_{n}<0 \end{cases} \] \[ a_{n}^{-}=\begin{cases} -a_{n} & a_{n}\leq0\\ 0 & a_{n}>0 \end{cases} \] とする。
正項級数は順序変更できるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right|\\ & <\infty \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right|\)が収束するので\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\)は絶対収束する。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \end{align*} となり、題意を満たす。
\(\left(a_{n}\right)\)を実数列として、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\)が収束するとする。
\[ a_{n}^{+}=\begin{cases} a_{n} & a_{n}\geq0\\ 0 & a_{n}<0 \end{cases} \] \[ a_{n}^{-}=\begin{cases} -a_{n} & a_{n}\leq0\\ 0 & a_{n}>0 \end{cases} \] とする。
正項級数は順序変更できるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right|\\ & <\infty \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right|\)が収束するので\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\)は絶対収束する。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \end{align*} となり、題意を満たす。
順序変更が出来ない例
無限級数の順序変更
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \] は出来ない。
これを計算すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k} & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\left(2k-1\right)-1}+\frac{1}{2\left(2k\right)-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \end{align*} となる。
\(\ne\)が2回出てきているので、実際に計算すると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2 \] であるが、順序変更すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\log2 \end{align*} となる。
無限級数の順序変更
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \] は出来ない。
これを計算すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k} & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\left(2k-1\right)-1}+\frac{1}{2\left(2k\right)-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \end{align*} となる。
\(\ne\)が2回出てきているので、実際に計算すると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2 \] であるが、順序変更すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\log2 \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 絶対収束するならば順序変更可能 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rikhhzpw/ |
| SNSボタン |
各点収束するが一様収束しない例
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
カントールの区間縮小法
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]