部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
\[\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)\]
有限次元空間のノルムは全て同値
ノルムの同値性の定義と性質
\[c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\]
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \]
ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon\]
行列を挟んでいる場合の解
\[XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}\]
Woodburyの恒等式
\[\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
階数・像・核と線形写像・行列との関係
\[\rank A=\dim\im A\]
巡回行列の定義と性質
\[C=\left(\begin{array}{cccccc}x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}\end{array}\right)\]
行列の定値性(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)の定義と性質
\[0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \]
グラム行列の定義と性質
\[G\left(A\right)=A^{*}A\]
ヒルベルト空間の凸射影定理と直交射影定理
\[H=A\oplus A^{\perp}\]
直交補空間の性質
\[\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}\]
行列式と行・列の入れ替え
\[\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\]
不変部分空間の定義と性質
\[f\left(W\right)\subseteq W\]
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
\[V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \]
内積の連続性
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \]
ユニタリ変換の定義と性質
\[\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \]
計量を保つ写像・計量同型写像・等長写像・等長同型写像の定義と性質
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\]
グラム・シュミットの直交化
\[\boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\]
正規直交基底での内積
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}\]
直交するならば1次独立
直交・直交直和・直交補空間・直交基底・正規直交基底の定義
\[W^{\bot}=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{y}\in W,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\right\} \]
標準エルミート内積と標準内積
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}\]
0ベクトルとの内積
\[\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\]
パーセバルの等式
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\]