有限次元空間のノルムは全て同値
有限次元空間のノルムは全て同値
体\(K\)上の有限次元空間\(V\)のノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)は全て同値となる。
体\(K\)上の有限次元空間\(V\)のノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)は全て同値となる。
無限次元空間では2つのノルムは同値になるとは限りません。
例えば、区間\(\left[0,1\right]\)で連続な関数全体を\(C\left[0,1\right]\)として、\(f\in C\left[0,1\right]\)とする。
このとき、ノルムを
\[ \left\Vert f\right\Vert _{1}=\int_{0}^{1}\left|f\left(x\right)\right|dx \] \[ \left\Vert f\right\Vert _{\infty}=\sup_{0\leq x\leq1}\left|f\left(x\right)\right| \] として、\(f_{k}=1_{\left[0,1/k\right]},f=0\)とする。
ここで\(1_{A}\)は定義関数である。
\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{1}\)では
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert f_{k}-f\right\Vert _{1} & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}1_{\left[0,\frac{1}{k}\right]}dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f_{1}\)である。
しかし、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{\infty}\)では
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert f_{k}-f\right\Vert _{\infty} & =\sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =\sup_{0\leq x\leq1}1_{\left[0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =1 \end{align*} となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\ne f_{1}\)である。
ノルムが同値であるとき、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{1}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\)であることと、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{\infty}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\)であることは同値であるので、無限次元空間のこの2つのノルムは同値ではない。
従って、無限次元空間では2つのノルムは同値になるとは限らない。
証明は次のようになる。
有限\(n\)次元のとき、\(0<b<a\leq\infty\)とすると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{a}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{b}\leq n^{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{a} \] となるので、
\begin{align*} 0 & \leq d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{a}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{b}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq nd_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となる。
これより、\(p\geq1\)のとき、\(p\)ノルムで点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{n}\right\} \)が収束列ならば\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{p}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となり、このとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{\infty}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}nd_{\infty}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となるので、任意の\(p'\geq1\)について\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{p'}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となるので収束列となる。
従って題意は成り立つ。
例えば、区間\(\left[0,1\right]\)で連続な関数全体を\(C\left[0,1\right]\)として、\(f\in C\left[0,1\right]\)とする。
このとき、ノルムを
\[ \left\Vert f\right\Vert _{1}=\int_{0}^{1}\left|f\left(x\right)\right|dx \] \[ \left\Vert f\right\Vert _{\infty}=\sup_{0\leq x\leq1}\left|f\left(x\right)\right| \] として、\(f_{k}=1_{\left[0,1/k\right]},f=0\)とする。
ここで\(1_{A}\)は定義関数である。
\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{1}\)では
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert f_{k}-f\right\Vert _{1} & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}1_{\left[0,\frac{1}{k}\right]}dx\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f_{1}\)である。
しかし、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{\infty}\)では
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert f_{k}-f\right\Vert _{\infty} & =\sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{k}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =\sup_{0\leq x\leq1}1_{\left[0,\frac{1}{k}\right]}\\ & =1 \end{align*} となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\ne f_{1}\)である。
ノルムが同値であるとき、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{1}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\)であることと、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{\infty}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\)であることは同値であるので、無限次元空間のこの2つのノルムは同値ではない。
従って、無限次元空間では2つのノルムは同値になるとは限らない。
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有限\(n\)次元\(p\)ノルムで、ある\(p\geq1\)が存在し、\(p\)ノルムで点列\(\left(\boldsymbol{x}_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が収束列ならば、任意の\(p'\geq1\)に対し、\(p'\)ノルムで\(\left(\boldsymbol{x}_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は収束列となる。証明は次のようになる。
有限\(n\)次元のとき、\(0<b<a\leq\infty\)とすると、
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{a}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{b}\leq n^{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{a} \] となるので、
\begin{align*} 0 & \leq d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{a}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{b}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq nd_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となる。
これより、\(p\geq1\)のとき、\(p\)ノルムで点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{n}\right\} \)が収束列ならば\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{p}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となり、このとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{\infty}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}nd_{\infty}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となるので、任意の\(p'\geq1\)について\(\lim_{n\rightarrow\infty}d_{p'}\left(\boldsymbol{x}_{n},\boldsymbol{x}\right)=0\)となるので収束列となる。
従って題意は成り立つ。
\(\dim V=n\)として、基底を\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、ある\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{x}_{k}\)となる。
ノルムの同値は同値関係を満たすので、任意のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}=\max_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right| \] と同値であることを示せばいい。
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert & =\left\Vert \sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\sum_{k=1}^{n}\max_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \end{align*} となるので、
\[ \left(\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \right)^{-1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty} \] となるので、\(c_{1}=\left(\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \right)^{-1}\)とおけば\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)となる。
背理法で示す。
すなわち、任意の自然数\(m\in\mathbb{N}\)に対し、ある\(\boldsymbol{y}_{m}\in X\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が存在し、\(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}>m\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert \)となると仮定する。
このとき\(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert /\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}<1/m\)となり、
\[ \boldsymbol{z}_{m}=\frac{\boldsymbol{y}_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}} \] とおくと、\(\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert _{\infty}=1\)で\(\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert <1/m\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{z}_{m}\in V\)なので、ある\(\left\{ b_{m,k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、基底\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)を用いて、
\[ \boldsymbol{z}_{m}=\sum_{k=1}^{n}b_{m,k}\boldsymbol{x}_{k} \] と表され、
\begin{align*} 1 & =\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert _{\infty}\\ & =\left\Vert \sum_{k=1}^{n}b_{m,k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert _{\infty}\\ & =\max_{k=1}^{n}\left|b_{m,k}\right| \end{align*} であるので、任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対し、ある\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し、\(\left|b_{m,k}\right|=1\)となる。
これより、ある\(l\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し、
\[ \sum_{m=1}^{\infty}\left|b_{m,l}\right|=\infty \] を満たす。
数列\(\left(b_{m,l}\right)_{m\in\mathbb{N}}\)で\(\left|b_{m,l}\right|=1\)となる\(m\)を順に\(m_{1},m_{2},\cdots\)とした部分列\(\left(b_{m_{s},l}\right)_{s\in\mathbb{N}}\)を考えると、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert & =\left|b_{m_{s},k}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & =\left\Vert b_{m_{s},k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \sum_{k=1}^{n}b_{m_{s},k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{z}_{m_{s}}\right\Vert \\ & \leq\frac{1}{m_{s}} \end{align*} となるので、\(s\rightarrow\infty\)とすると、\(\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =0\)より\(\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\)となるが、\(\boldsymbol{x}_{k}\)は基底より\(\boldsymbol{x}_{k}\ne\boldsymbol{0}\)なので矛盾。
従って背理法より、ある\(c_{2}>0\)が存在し、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
これより、ノルムの同値は同値関係であり推移律を満たすので、有限次元では全てのノルムは同値となる。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、ある\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{x}_{k}\)となる。
ノルムの同値は同値関係を満たすので、任意のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}=\max_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right| \] と同値であることを示せばいい。
\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)
ある\(c_{1}>0\)が存在し、\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)を示す。\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert & =\left\Vert \sum_{k=1}^{n}a_{k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\sum_{k=1}^{n}\max_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \end{align*} となるので、
\[ \left(\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \right)^{-1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty} \] となるので、\(c_{1}=\left(\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \right)^{-1}\)とおけば\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)となる。
\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)
ある\(c_{2}>0\)が存在し\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を示す。背理法で示す。
すなわち、任意の自然数\(m\in\mathbb{N}\)に対し、ある\(\boldsymbol{y}_{m}\in X\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が存在し、\(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}>m\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert \)となると仮定する。
このとき\(\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert /\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}<1/m\)となり、
\[ \boldsymbol{z}_{m}=\frac{\boldsymbol{y}_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{y}_{m}\right\Vert _{\infty}} \] とおくと、\(\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert _{\infty}=1\)で\(\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert <1/m\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{z}_{m}\in V\)なので、ある\(\left\{ b_{m,k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、基底\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)を用いて、
\[ \boldsymbol{z}_{m}=\sum_{k=1}^{n}b_{m,k}\boldsymbol{x}_{k} \] と表され、
\begin{align*} 1 & =\left\Vert \boldsymbol{z}_{m}\right\Vert _{\infty}\\ & =\left\Vert \sum_{k=1}^{n}b_{m,k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert _{\infty}\\ & =\max_{k=1}^{n}\left|b_{m,k}\right| \end{align*} であるので、任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対し、ある\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し、\(\left|b_{m,k}\right|=1\)となる。
これより、ある\(l\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)が存在し、
\[ \sum_{m=1}^{\infty}\left|b_{m,l}\right|=\infty \] を満たす。
数列\(\left(b_{m,l}\right)_{m\in\mathbb{N}}\)で\(\left|b_{m,l}\right|=1\)となる\(m\)を順に\(m_{1},m_{2},\cdots\)とした部分列\(\left(b_{m_{s},l}\right)_{s\in\mathbb{N}}\)を考えると、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert & =\left|b_{m_{s},k}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & =\left\Vert b_{m_{s},k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & \leq\left\Vert \sum_{k=1}^{n}b_{m_{s},k}\boldsymbol{x}_{k}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{z}_{m_{s}}\right\Vert \\ & \leq\frac{1}{m_{s}} \end{align*} となるので、\(s\rightarrow\infty\)とすると、\(\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =0\)より\(\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\)となるが、\(\boldsymbol{x}_{k}\)は基底より\(\boldsymbol{x}_{k}\ne\boldsymbol{0}\)なので矛盾。
従って背理法より、ある\(c_{2}>0\)が存在し、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
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これらより、ある\(c_{1},c_{2}>0\)が存在し、\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)かつ\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を満たすので、\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となり、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)と\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{\infty}\)は同値となる。これより、ノルムの同値は同値関係であり推移律を満たすので、有限次元では全てのノルムは同値となる。
ページ情報
| タイトル | 有限次元空間のノルムは全て同値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tntw0gnt/ |
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ノルムの同値性の定義と性質
\[
c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}
\]
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\Rightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
\]
ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon
\]
ノルム空間ならば距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\]