標準エルミート内積と標準内積

by nomura · 2026年5月11日

標準エルミート内積と標準内積
体\(K\)を複素数\(\mathbb{C}\)または実数\(\mathbb{R}\)として、体\(K\)上のベクトル\(\boldsymbol{x}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\in K^{n},\boldsymbol{y}=\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\right)^{T}\in K^{n}\)に対し、内積\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)を
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}} \] で定義すると、内積空間となる。
これを標準エルミート内積という。
実数\(\mathbb{R}\)で考える場合は\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\)となり、これを標準内積という。

\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\boldsymbol{x}^{T}\overline{\boldsymbol{y}}\)とも表すことができる。

内積空間になる証明をする。

半正定値性

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{x_{k}}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので正定値性を満たす。

非退化性

\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2} \end{align*} となるとき、\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,x_{k}=0\)となるので\(x=\left(0,0,\cdots,0\right)^{T}=\boldsymbol{0}\)となるので非退化性を満たす。

エルミート対称性

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}\\ & =\overline{\sum_{k=1}^{n}y_{k}\overline{x_{k}}}\\ & =\overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle } \end{align*} となるのでエルミート対称性を満たす。

第1変数に対する線形性

\begin{align*} \left\langle \alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle & =\sum_{k=1}^{n}\left(\alpha x_{k}+\beta y_{k}\right)\overline{z_{k}}\\ & =\alpha\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{z_{k}}+\beta\sum_{k=1}^{n}y_{k}\overline{z_{k}}\\ & =\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle +\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle \end{align*} となるので第1変数に対する線形性を満たす。