(1)

\(\forall\boldsymbol{x}\in X,\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となるので、\(\boldsymbol{0}\in X^{\perp}\)となる。
任意の\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in X^{\perp}\)に対し、\(\forall\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{X},\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}\right\rangle =0,\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)より、\(\forall\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{X},\left\langle \boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2},x\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},x\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x}_{2},x\right\rangle =0\)となるので、\(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in X^{\perp}\)となる。
任意の\(\boldsymbol{x}_{1}\in X^{\perp},\lambda\in K\)に対し、\(\forall\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{X},\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)より、\(\forall\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{X},\left\langle \lambda\boldsymbol{x}_{1},x\right\rangle =\lambda\left\langle \boldsymbol{x}_{1},x\right\rangle =0\)となるので、\(\boldsymbol{x}_{1}\in X^{\perp}\)となる。
これらより、\(X^{\perp}\)は\(V\)の部分空間となるので題意は成り立つ。

(2)

内積空間ではコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}}\in X^{\perp}\)があるとき、ある\(\boldsymbol{x}\in V\)が存在し、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)のとき、内積の連続性より、任意の\(\boldsymbol{a}\in X\)に対し、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{a}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle \right| & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle \right|\\ & \leq\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{a}\right\Vert \cmt{\because\text{コーシー・シュワルツの不等式}}\\ & =0 \end{align*} となる。
これより、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{a}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle \)となり、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{a}\right\rangle =\lim_{k\rightarrow\infty}0=0\)より\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle =0\)となる。
従って、\(\boldsymbol{x}\in\)\(X^{\perp}\)となるので、\(X^{\perp}\)は閉集合となる。

(3)

\begin{align*} X\cap X^{\perp} & =\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\boldsymbol{x}\in X\right\} \cap\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{a}\in X,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle =0\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\right\} \cap\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{a}\in X,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle =0\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}\in X;\forall\boldsymbol{a}\in X,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle =0\right\} \\ & \subseteq\left\{ \boldsymbol{x}\in X;\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}\in X;\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}\in X;\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \end{align*} また、\(\boldsymbol{0}\in X\land\boldsymbol{0}\in X^{\perp}\)なので、\(X\cap X^{\perp}\supseteq\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となるので\(X\cap X^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。
従って与式は成り立つ。

(3)-2

\(\subseteq\)

\(\boldsymbol{x}\in X\land\boldsymbol{x}\in X^{\perp}\)とすると、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となり、内積空間の非退化性より、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となる。
これより、\(X\cap X^{\perp}\subseteq\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。

\(\supseteq\)

\(X,X^{\perp}\)は部分空間なので\(\boldsymbol{0}\in X\land\boldsymbol{0}\in X^{\perp}\)であり、\(\boldsymbol{0}\in X\cap X^{\perp}\)となるので、\(X\cap X^{\perp}\supseteq\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)

=

これらより、\(X\cap X^{\perp}\subseteq\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)と\(X\cap X^{\perp}\supseteq\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)が成り立つので、\(X\cap X^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。

(4)

\(Y^{\perp}\subseteq X^{\perp}\Leftrightarrow X^{\perp c}\subseteq Y^{\perp c}\)なので、\(X\subseteq Y\Rightarrow X^{\perp c}\subseteq Y^{\perp c}\)を示す。
\(\boldsymbol{a}\in X^{\perp c}\)のとき、\(X^{\perp c}=\left\{ \boldsymbol{v}\in V;\exists\boldsymbol{x}\in X,\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{x}\right\rangle \ne0\right\} \)なので、\(\exists\boldsymbol{x}\in X,\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right\rangle \ne0\)となり、条件より、\(X\subseteq Y\)なので\(\boldsymbol{a}\in X\rightarrow\boldsymbol{a}\in Y\)となり、\(\exists\boldsymbol{x}\in Y,\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right\rangle \ne0\)となる。
従って、\(\boldsymbol{a}\in\left\{ \boldsymbol{v}\in V;\exists\boldsymbol{x}\in Y,\left\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{x}\right\rangle \ne0\right\} \)となるので\(\boldsymbol{a}\in Y^{\perp c}\)となる。
故に\(\boldsymbol{a}\in X^{\perp c}\rightarrow\boldsymbol{a}\in Y^{\perp c}\)なので\(X^{\perp c}\subseteq Y^{\perp c}\)となり、これは\(Y^{\perp}\subseteq X^{\perp}\)なので題意は成り立つ。
となるので与式は成り立つ。

(5)

\(\subseteq\)

\(\boldsymbol{x}\in X^{\perp}\)のとき、任意の\(\boldsymbol{a}\in X^{a}\)に対し、ある\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\mathbb{N}}\subseteq X\)が存在し、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{a}\)となる。
このとき、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle =0\)であり、内積の連続性より、\(0=\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle \)となるので\(\boldsymbol{x}\in X^{a\perp}\)となる。

\(\supseteq\)

\(X\subseteq X^{a}\)なので\(X^{\perp}\supseteq X^{a\perp}\)となる。

=

これより、\(X^{\perp}\subseteq X^{a\perp}\)と\(X^{\perp}\supseteq X^{a\perp}\)が成り立つので、\(X^{\perp}=X^{a\perp}\)となり与式が成り立つ。

(6)

\(X^{a\perp}=X^{\perp}=X^{\perp a}\)なので与式は成り立つ。

(7)

任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\(X^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{y}\in V;\forall\boldsymbol{x}\in X,\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\right\} \)なので、\(\boldsymbol{y}\in X^{\perp}\)ならば\(\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{y}\in X^{\perp}\)なので\(\boldsymbol{x}\in X^{\perp\perp}\)となるので、\(X\subseteq X^{\perp\perp}\)となる。
従って題意は成り立つ。

(8)

\(\subseteq\)

\(X\subseteq X+Y\)なので\(\left(X+Y\right)^{\perp}\subseteq X^{\perp}\)となる。
同様に\(Y\subseteq X+Y\)なので\(\left(X+Y\right)^{\perp}\subseteq Y^{\perp}\)となる。
これより、\(\left(X+Y\right)^{\perp}\subseteq X^{\perp}\cap Y^{\perp}\)となる。

\(\supseteq\)

\(\boldsymbol{a}\in X^{\perp}\cap Y^{\perp}\)とする。
このとき、\(\boldsymbol{a}\in X^{\perp}\cap Y^{\perp}\subseteq X^{\perp}\)なので、任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となる。
同様に、\(\boldsymbol{a}\in X^{\perp}\cap Y^{\perp}\subseteq Y^{\perp}\)なので、任意の\(\boldsymbol{y}\in Y\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\)となる。
これより、任意の\(\boldsymbol{z}\in X+Y\)に対し、ある\(\boldsymbol{x}\in X,\boldsymbol{y}\in Y\)が存在して、\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)となるので、\(\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{z}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\)となり、\(\boldsymbol{a}\in\left(X+Y\right)^{\perp}\)
従って、\(X^{\perp}\cap Y^{\perp}\subseteq\)\(\left(X+Y\right)^{\perp}\)となる。

\(=\)

これらより、\(\left(X+Y\right)^{\perp}\subseteq X^{\perp}\cap Y^{\perp}\)と\(\left(X+Y\right)^{\perp}\supseteq X^{\perp}\cap Y^{\perp}\)が成り立つので、\(\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}\)となり与式が成り立つ。

(9)

\(X\)の正規直交基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}\)とする。
このとき、\(V\)の任意の元\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\[ \boldsymbol{x}_{1}=\sum_{k=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \boldsymbol{v}_{k} \] \[ \boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{1} \] とおくと、\(\boldsymbol{x}_{1}\)は\(X\)の正規直交基底の\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}\)の線形結合で表されているので、\(\boldsymbol{x}_{1}\in X\)となる。
また、任意の\(\boldsymbol{x}_{1}\)に対し、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{1}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\sum_{k=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle -\left\langle \sum_{j=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{j}\right\rangle \boldsymbol{v}_{j},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle -\sum_{j=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{j}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{v}_{j},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle -\sum_{j=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{j}\right\rangle \delta_{j,k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle }\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle \right)\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}_{2}\in X^{\perp}\)となる。
これより、\(V=X+X^{\perp}\)となり、\(X\cap X^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)なので、\(V=X\oplus X^{\perp}\)となる。

(10)

\(V\)が有限次元のとき、\(X\)について\(V=X\oplus X^{\perp}\)となり、\(X^{\perp}\)について\(V=X^{\perp}\oplus X^{\perp\perp}\)となる。
これより、\(X\oplus X^{\perp}=V=X^{\perp}\oplus X^{\perp\perp}\)となり、両辺に\(X\)との積集合をとると\(X\cap X^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,X^{\perp}\cap X^{\perp\perp}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)なので、左辺は\(\left(X\oplus X^{\perp}\right)\cap X=X\)となり、右辺は\(\left(X^{\perp}\oplus X^{\perp\perp}\right)\cap X=X^{\perp\perp}\cap X\)となるので、\(X=X^{\perp\perp}\cap X\)となる。
これが成り立つためには、\(X\subseteq X^{\perp\perp}\)となる。
同様に両辺に\(X^{\perp\perp}\)との積集合をとると、\(X\cap X^{\perp\perp}=X^{\perp\perp}\)となり、これが成り立つためには\(X^{\perp\perp}\subseteq X\)となる。
従って、\(X\subseteq X^{\perp\perp}\)かつ\(X^{\perp\perp}\subseteq X\)となるので、\(X^{\perp\perp}=X\)となる。

(11)

\(V\)が有限次元のとき、\(X^{\perp}+Y^{\perp}=\left(X^{\perp}+Y^{\perp}\right)^{\perp\perp}=\left(X^{\perp\perp}\cap Y^{\perp\perp}\right)^{\perp}=\left(X^{\perp}\cap Y^{\perp}\right)^{\perp}\)となるので与式は成り立つ。

(12)

ヒルベルト空間の直交射影定理より成り立つ。

(13)

(12)より、\(X^{a}\)は閉部分集合であるので、
\begin{align*} H & =X^{a}\oplus X^{a\perp} \end{align*} であり、また、
\begin{align*} H & =X^{a\perp}\oplus X^{a\perp\perp}\\ & =X^{a\perp}\oplus X^{\perp\perp} \end{align*} でもあるので、比べると\(X^{a}=X^{\perp\perp}\)となる。
従って与式は成り立つ。

(14)

\(X,Y\)は閉部分空間であるので、
\begin{align*} X^{\perp}+Y^{\perp} & =\left(X^{\perp}+Y^{\perp}\right)^{a}\\ & =\left(X^{\perp}+Y^{\perp}\right)^{a\perp\perp}\cmt{\because\text{ヒルベルト空間では}A^{a}=A^{\perp\perp}}\\ & =\left(X^{\perp}+Y^{\perp}\right)^{\perp\perp}\\ & =\left(X^{\perp\perp}\cap Y^{\perp\perp}\right)^{\perp}\cmt{\because\left(A+B\right)^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}}\\ & =\left(X^{a}\cap Y^{a}\right)^{\perp}\cmt{\because\text{ヒルベルト空間では}A^{a}=A^{\perp\perp}}\\ & =\left(X\cap Y\right)^{\perp} \end{align*} となるので与式は成り立つ。