Woodburyの恒等式
Woodburyの恒等式
行列\(A,B,C,D\)があり、\(A,C,C^{-1}+DA^{-1}B\)が正則とする。
\[ \left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1} \] これをWoodburyの恒等式という。
行列\(A,B,C,D\)があり、\(A,C,C^{-1}+DA^{-1}B\)が正則とする。
\[ \left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1} \] これをWoodburyの恒等式という。
(0)
\begin{align*} \left(A+BCD\right)^{-1} & =\left(A\left(I+A^{-1}BCD\right)\right)^{-1}\\ & =\left(I+A^{-1}BCD\right)^{-1}A^{-1}\\ & =\left(I+A^{-1}BCD\right)^{-1}\left(I+A^{-1}BCD-A^{-1}BCD\right)A^{-1}\\ & =\left(I-\left(I+A^{-1}BCD\right)^{-1}A^{-1}BCD\right)A^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(I+A^{-1}BCD\right)^{-1}A^{-1}BCDA^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(\left(A^{-1}BCDA^{-1}\right)^{-1}\left(I+A^{-1}BCD\right)\right)^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(\left(CDA^{-1}\right)^{-1}\left(A^{-1}B\right)^{-1}\left(I+A^{-1}BCD\right)\right)^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(\left(CDA^{-1}\right)^{-1}\left(I+CDA^{-1}B\right)\left(A^{-1}B\right)^{-1}\right)^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(\left(DA^{-1}\right)^{-1}C^{-1}\left(I+CDA^{-1}B\right)\left(A^{-1}B\right)^{-1}\right)^{-1}\\ & =A^{-1}-\left(\left(DA^{-1}\right)^{-1}\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)\left(A^{-1}B\right)^{-1}\right)^{-1}\\ & =A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1} \end{align*}(0)-2
対称ブロック分けなブロック行列を考える。\(A\)と\(D-CA^{-1}B\)が正則なとき、
\[ \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right) \] \(D\)と\(A-BD^{-1}C\)が正則なとき、
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right)^{-1} & =\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(A\)と\(D-CA^{-1}B\)と\(D\)と\(A-BD^{-1}C\)が全て対称なとき、この2つは等しいので、
\[ \left(\begin{array}{cc} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1} & \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & -\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1} & D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{array}\right) \] となり、各成分は等しいので、
\[ \begin{cases} A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}=\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}\\ -A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}=-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\ -\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}=-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}\\ \left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}=D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}+D^{-1} \end{cases} \] となる。
これより、
\[ \begin{cases} \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}\\ \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}=A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}DB^{-1}\\ \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}=C^{-1}D\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}\\ \left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}=C^{-1}D\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}DB^{-1}-C^{-1}DB^{-1} \end{cases} \] となり\(D\rightarrow C^{-1},C\rightarrow D\)と入れ替えれば、1つ目が求める式である。
ページ情報
| タイトル | Woodburyの恒等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hyr1z55j/ |
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4元数のパウリ表示
\[
e_{k}=-i\sigma_{k}
\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[
\begin{cases}
\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\
\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}
\end{cases}
\]
パウリ行列の定義と性質
\[
\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]