0ベクトルとの内積
0ベクトルとの内積
内積空間\(V\)があるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)が成り立つ。
内積空間\(V\)があるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)が成り立つ。
\begin{align*}
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle 0\boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle \\
& =0\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle \\
& =0
\end{align*}
\begin{align*}
\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle & =\overline{\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle }\\
& =\overline{0}\\
& =0
\end{align*}
となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 0ベクトルとの内積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gah2luq5/ |
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パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。