グラム行列の定義と性質

by nomura · 2026年5月28日

グラム行列の定義と性質
グラム行列の定義と性質は次の通りである。

グラム行列の定義
$m\times n$行列$A$があるとき、
\[ G\left(A\right)=A^{*}A \] を$A$のグラム行列という。
$A$を列ベクトルを使って$A=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)$で表すと、標準エルミート内積を用いて、
\begin{align*} \left(G\left(A\right)\right)_{i,j} & =\left(G\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)^{*}\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left\langle \boldsymbol{v}_{i},\boldsymbol{v}_{j}\right\rangle \end{align*} となる。

グラム行列の性質
$A$のグラム行列$G$は次の性質がある。

(1)

グラム行列$G\left(A\right)$は正方行列である。

(2)

グラム行列$G$はエルミート行列である。

(3)

グラム行列$G$の行列式は非負数になる。
すなわち、
\[ 0\leq\det G\left(A\right) \] となる。
$A$が$n\times m$行列で$n<m$ならば、$\det G\left(A\right)=0$となる。

(4)

行列$G$がグラム行列であることと、行列$G$が半正定値行列であることは同値である。

\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right) \] とすると、$A$のグラム行列$G$は
\begin{align*} G & =A^{*}A\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)^{*}\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 10 & 14\\ 14 & 18 \end{array}\right) \end{align*} となる。

(1)

グラム行列$G\left(A\right)$は
\[ G\left(A\right)=A^{*}A \] であり、$A$を$m\times n$行列とすると、$A^{*}$は$n\times m$行列なので、$G\left(A\right)$は$n\times n$行列であり正方行列である。

(2)

\begin{align*} G^{*}\left(A\right) & =\left(A^{*}A\right)^{*}\\ & =A^{*}A^{**}\\ & =A^{*}A\\ & =G\left(A\right) \end{align*} となるので$G$はエルミート行列となる。

(3)

$A$を$n\times m$行列とすると$A^{*}$は$m\times n$行列であり、$\det G\left(A\right)=A^{*}A$となる。
$A=\left(\boldsymbol{a}_{1}^{T},\boldsymbol{a}_{2}^{T},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}^{T}\right)^{T}$と行ベクトルで表すと、
\begin{align*} \det\left(A^{*}A\right) & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\overline{\det\left(\boldsymbol{a}_{k_{1}}^{T},\boldsymbol{a}_{k_{2}}^{T},\cdots,\boldsymbol{a}_{k_{m}}^{T}\right)}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\overline{\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\left|\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となる。
また、$n<m$のときは、総和の条件$1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n$を満たす$k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}$が存在しないので$\det G\left(A\right)=0$となる。
故に題意は成り立つ。

$A$が正方行列の場合

$A$が正方行列の場合は簡単にできる。
\begin{align*} \det G\left(A\right) & =\det\left(A^{*}A\right)\\ & =\left(\det\left(A^{*}\right)\right)\left(\det A\right)\\ & =\overline{\det A}\left(\det A\right)\\ & =\left|\det A\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

$\Rightarrow$

行列$G$体$K$上の行列とする。
行列$G$がグラム行列であるとき、ある行列$A$が存在して、$G\left(A\right)=A^{*}A$と表されるので、任意の列ベクトル$\boldsymbol{x}\in K^{n}$に対し、
\begin{align*} \left\langle G\left(A\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle A^{*}A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので$G$は半正定値である。
従って$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

行列$G$が半正定値行列なので$G$はエルミート行列であり、エルミート行列なので正規行列である。
正規行列であるのであるユニタリ行列$U$によって対角化が可能である。
また、半正定値行列なので、固有値$\lambda_{k}$は$\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,0\leq\lambda_{k}$となる。
これより、$\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)=U^{-1}HU$となるので、
\begin{align*} H & =U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{-1}\\ & =U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{*}\\ & =U\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*}\\ & =\left(\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*}\right)^{*}\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*} \end{align*} となるので、$H$はグラム行列となる。
従って$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。