(1)

グラム行列\(G\left(A\right)\)は
\[ G\left(A\right)=A^{*}A \] であり、\(A\)を\(m\times n\)行列とすると、\(A^{*}\)は\(n\times m\)行列なので、\(G\left(A\right)\)は\(n\times n\)行列であり正方行列である。

(2)

\begin{align*} G^{*}\left(A\right) & =\left(A^{*}A\right)^{*}\\ & =A^{*}A^{**}\\ & =A^{*}A\\ & =G\left(A\right) \end{align*} となるので\(G\)はエルミート行列となる。

(3)

\(A\)を\(n\times m\)行列とすると\(A^{*}\)は\(m\times n\)行列であり、\(\det G\left(A\right)=A^{*}A\)となる。
\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1}^{T},\boldsymbol{a}_{2}^{T},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}^{T}\right)^{T}\)と行ベクトルで表すと、
\begin{align*} \det\left(A^{*}A\right) & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\overline{\det\left(\boldsymbol{a}_{k_{1}}^{T},\boldsymbol{a}_{k_{2}}^{T},\cdots,\boldsymbol{a}_{k_{m}}^{T}\right)}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\overline{\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\left|\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{a}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_{k_{m}} \end{array}\right)\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となる。
また、\(n<m\)のときは、総和の条件\(1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n\)を満たす\(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\)が存在しないので\(\det G\left(A\right)=0\)となる。
故に題意は成り立つ。

\(A\)が正方行列の場合

\(A\)が正方行列の場合は簡単にできる。
\begin{align*} \det G\left(A\right) & =\det\left(A^{*}A\right)\\ & =\left(\det\left(A^{*}\right)\right)\left(\det A\right)\\ & =\overline{\det A}\left(\det A\right)\\ & =\left|\det A\right|^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

行列\(G\)体\(K\)上の行列とする。
行列\(G\)がグラム行列であるとき、ある行列\(A\)が存在して、\(G\left(A\right)=A^{*}A\)と表されるので、任意の列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対し、
\begin{align*} \left\langle G\left(A\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle A^{*}A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので\(G\)は半正定値である。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

行列\(G\)が半正定値行列なので\(G\)はエルミート行列であり、エルミート行列なので正規行列である。
正規行列であるのであるユニタリ行列\(U\)によって対角化が可能である。
また、半正定値行列なので、固有値\(\lambda_{k}\)は\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,0\leq\lambda_{k}\)となる。
これより、\(\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)=U^{-1}HU\)となるので、
\begin{align*} H & =U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{-1}\\ & =U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{*}\\ & =U\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*}\\ & =\left(\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*}\right)^{*}\diag\left(\sqrt{\lambda}_{1},\sqrt{\lambda_{2}},\cdots,\sqrt{\lambda_{n}}\right)U^{*} \end{align*} となるので、\(H\)はグラム行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。