ヒルベルト空間ならばバナッハ空間であり、バナッハ空間が中線定理を満たすときヒルベルト空間になります。

バナッハ空間であればノルム空間

バナッハ空間であればノルム空間であるが、逆は一般的に成り立たない。
バナッハ空間の定義より、\(\Rightarrow\)は明らかに成り立つ。
逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)上でベクトル空間を\(\mathbb{Q}\)、ノルムを絶対値として定めるとノルム空間になるが完備ではないのでバナッハ空間ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

ヒルベルト空間であれば内積空間

ヒルベルト空間であれば内積空間であるが、逆は一般的に成り立たない。
ヒルベルト空間の定義より、\(\Rightarrow\)は明らかに成り立つ。
逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)上でベクトル空間を\(\mathbb{Q}\)、内積を通常の積として定めると内積空間になるが完備ではないのでヒルベルト空間ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

ノルム空間であるがバナッハ空間でない例

区間\(\left[0,1\right]\)で連続な関数全体を\(C\left[0,1\right]\)で表すと\(C\left[0,1\right]\)はベクトル空間となる。
ベクトル空間\(C\left[0,1\right]\)にノルムを
\[ \left\Vert f\right\Vert =\int_{0}^{1}\left|f\left(x\right)\right|dx \] として定めると、\(C\left[0,1\right]\)はノルム空間であるがバナッハ空間ではない。
これを証明する。
\(C\left[0,1\right]\)はノルム空間であるので、バナッハ空間でないことを示す。
\(f_{k}\left(x\right)=x^{k}\in C\left[0,1\right]\)とすると、
\begin{align*} \lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert f_{m}-f_{n}\right\Vert & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|dx\\ & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\left|x^{m}-x^{n}\right|dx\\ & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}\sgn\left(n-m\right)\left(x^{m}-x^{n}\right)dx\\ & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\sgn\left(n-m\right)\left[\frac{1}{m+1}x^{m+1}-\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1}\\ & =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\sgn\left(n-m\right)\left(\frac{1}{m+1}-\frac{1}{n+1}\right)\\ & =0 \end{align*} となるのでコーシー列であるが、
\begin{align*} \lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}\left(x\right) & =\lim_{k\rightarrow\infty}x^{k}\\ & =\begin{cases} 0 & 0\leq x<1\\ 1 & x=1 \end{cases} \end{align*} となり、連続ではないので\(f\notin C\left[0,1\right]\)となる。
従って\(C\left[0,1\right]\)はバナッハ空間ではない。