直交するならば1次独立

\(\Rightarrow\)

\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0} \] とする。
また、条件より、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{m}\)は直交するので、\(\forall i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} ,\left\langle \boldsymbol{x}_{i},\boldsymbol{x}_{j}\right\rangle =\left\Vert x_{i}\right\Vert ^{2}\delta_{i,j}\)となる。
このとき、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)に対し、
\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x}_{i},\boldsymbol{0}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{i},\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\left\langle \boldsymbol{x}_{i},\boldsymbol{x}_{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\left\Vert \boldsymbol{x}_{i}\right\Vert \delta_{i,k}\\ & =c_{i}\left\Vert \boldsymbol{x}_{i}\right\Vert \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}_{i}\ne\boldsymbol{0}\)より\(0<\left\Vert \boldsymbol{x}_{i}\right\Vert \)なので、\(c_{i}=0\)となる。
これより、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)に対し、\(c_{i}=0\)となるので、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0\)となり\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は1次独立となる。
従って題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
通常の\(\mathbb{R}^{2}\)空間を考え、標準内積をとる。
\(\boldsymbol{x}_{1}=\left(1,0\right),\boldsymbol{x}_{2}=\left(1,1\right)\)とすると、\(c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{0}\)を満たす\(c_{k}\)は
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =c_{1}\boldsymbol{x}_{1}+c_{2}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =c_{1}\left(1,0\right)+c_{2}\left(1,1\right)\\ & =\left(c_{1}+c_{2},c_{2}\right) \end{align*} となるので\(c_{1}=c_{2}=0\)となり1次独立であるが\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle =\left\langle \left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\rangle =1+0=1\ne0\)となるので直交してない。
従って、逆は一般的に成り立たない。